DISCUTINDO OS FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA

NOVOS FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA

Pesquisa feita entre 2018 e 2020.

Texto elaborado em 2020 e aqui publicado em 19 de março de 2021. 

Autor: Remo Mannarino

INTRODUÇÃO

O texto que se segue propõe uma reformulação nos fundamentos da matemática, que tem como fulcro o entendimento de que os cálculos matemáticos devem ser feitos com expressões numéricas de contagens, de medidas, de quantidades físicas ou de contagens abstratas, não com números isoladamente considerados.

A reformulação estabelece que os números são neutros, descartando a existência de números positivos, negativos ou imaginários.

E, mais, não existem multiplicadores negativos, sendo certo que, tratando-se de contagens de módulos, só há uma ordem dos fatores, o fator multiplicador seguido do fator a ser multiplicado.

Ver, ainda, que, na matemática relevante, só as contagens de passos e as quantidades físicas podem ser elevadas ao quadrado, como, de resto, a qualquer outra potência.

Equações relevantes são expressas em contagens de módulos e polinômios relevantes são expressos em passos e unidades derivadas dos mesmos. Observar também que só existem equações matematicamente relevantes que sejam do primeiro grau e polinômios matematicamente relevantes que sejam do primeiro, do segundo ou do terceiro graus.

E a equação do segundo grau, tão presente em todos os currículos?  A resposta é simples: a chamada equação do segundo grau é na verdade uma equação do primeiro grau com duas versões imbricadas, de caráter lúdico, cujas soluções podem ser obtidas aritmeticamente. Considerar como equação do segundo grau o trinômio da parábola igualado a zero é um entendimento que contribui para tumultuar a matemática e atravancar o seu progresso.

TERMINOLOGIA

Este artigo adota arbitrariamente os seguintes termos e expressões:

1 - "módulo", para designar um elemento ou membro de um conjunto.

2 - "passo", para designar uma unidade de distância adotada para fazer um estudo geométrico.

3 - "contagem", para designar o resultado de uma aferição ou de uma verificação de ordem ou posicionamento. Há quatro tipos de contagens:

- "contagens de módulos", que servem às equações do primeiro grau;

 - "contagens de passos", que servem aos polinômios do primeiro, do segundo e do terceiro graus.  

- "contagens abstratas", que servem para aferir ordens e posições, definindo um "número vinculado".

- "contagens de "número de vezes", que definem multiplicadores.

As contagens abstratas e as contagens de "número de vezes" são definidas por um número “vinculado” a essas contagens, mas as contagens de módulos e de passos são expressas por um número e uma unidade alusiva. 

4 -"quantidade física", para designar o resultado, expresso por um número e uma unidade, de uma aferição relacionada com um estado físico ou um fenômeno físico. As quantidades físicas diferem das contagens anteriormente definidas por não resultarem de somas algébricas e são usadas de acordo com o estabelecido nas fórmulas e leis científicas.

5 - "números isolados" - para designar números que apenas expressam uma quantidade e não se relacionam a nenhuma contagem ou quantidade física. 

6 – “equações ou polinômios de caráter lúdico” – equações ou polinômios construídos com números isolados.

7 – “equações que importam, prestantes ou relevantes” – são aquelas construídas com contagens de módulos.

8 – “polinômios que importam, prestantes ou relevantes” – são aqueles construídos com contagens de passos e de seus derivados.

DESENVOLVIMENTO

Números e contagens

O número é um indicador, múltiplo até o infinito, usado para expressar a magnitude de uma contagem ou de uma quantidade física.

O número é neutro, um indicador sem sinal.

Os sinais de mais (+) e de menos (-) são na verdade atributos de contagens. De fato, a contagem de módulos e a contagem de passos resultam de uma sucessão de adições e subtrações de contagens parciais, configurando uma soma algébrica, que pode resultar positiva ou negativa.  A contagem resultante é sempre referida a um virtual ponto zero. Desse modo, uma expressão numérica negativa é, relativamente ao ponto zero, a imagem de uma contagem, sendo esta, por sua vez, a imagem da sua própria imagem.

Contagens de módulos

A contagem de módulos é uma soma algébrica de “coisas” ou “elementos” iguais ou assim considerados para fins de aferição; por exemplo, 100 laranjas, 100 móveis, 100 alunos. A contagem de módulos é usada na aritmética, em especial na resolução de problemas por meio de equações prestantes, todas do primeiro grau.

Contagens de passos 

As contagens de passos são utilizadas na geometria, para estudar linhas, figuras e sólidos. Uma unidade básica, o passo, é usada para aferir comprimentos ou posições. Uma segunda unidade, o passo², quadrado da unidade básica, é usada para quantificar áreas. Uma terceira, o passo³, cubo da unidade básica, é usada para quantificar volumes.

O passo pode ser uma unidade adotada por convenção, como o metro, tendo o metro quadrado e o metro cúbico como unidades derivadas. As três unidades são a base das expressões numéricas da geometria, respectivamente, comprimentos, áreas e volumes. 

Também pode ser o passo o lado de uma quadrícula ao acaso em uma folha de desenho (caso em que essa unidade fica subentendida, tanto quanto o passo², a unidade dela derivada). O quadrado da quadrícula, que exprime o passo², pode, no desenho, ser aumentado ou reduzido discricionariamente nos termos de uma escala arbitrária.  

É importante observar que a expressão numérica da contagem de passos em nenhuma hipótese pode ser elevada a uma potência maior que três, nem a alguma potência fracionária, pois essas operações implicariam dimensões que não existem.

Contagens abstratas

Uma contagem abstrata (que poderíamos chamar de "número vinculado") é a expressão numérica de uma posição ou de uma ordem. A expressão numérica de uma contagem abstrata não tem unidade explícita, sendo representada apenas por um número. Por exemplo, o sexto cliente de uma fila ou a oitava economia do mundo.

Contagens de "número de vezes"

Neste texto a expressão "número de vezes" será tomada como equivalente a "multiplicador". Deve-se observar, não obstante, que o multiplicador pode ser um número fracionário. Trata-se de uma contagem que não aceita subtrações e nunca pode ser negativa. Não há, com efeito, multiplicadores negativos!

Quantidades físicas

Seus números e unidades são usados ​​em fórmulas da maneira estabelecida em uma teoria científica. As quantidades físicas em geral não são aferidas mediante somas algébricas, mas de acordo com processos científicos especiais.

As unidades envolvem-se nos cálculos

As unidades, se presentes nas contagens, devem, igualmente, estar presentes nos cálculos, dos quais podem resultar novas unidades, o que se observa nos dois exemplos abaixo:

1 - No cálculo do volume de um sólido, um exercício geométrico, os números são dados em metros e a resposta é obtida em metros cúbicos.

2 - No cálculo da força que atua sobre um corpo, que é um exercício da física, a massa é dada em quilogramas, a aceleração, em metros por segundo ao quadrado, sendo a resposta obtida em newtons.

Os cálculos acima são feitos com números, sob a égide das expressões numéricas, o que significa saber, por exemplo, se é possível ou não fazer multiplicações ou como expressar o resultado da operação. Tudo feito com o cuidado de observar o que acontece com as unidades.

Em outras palavras, devemos respeitar as regras do jogo.

Entendendo a multiplicação

A multiplicação é, numa soma algébrica, um mecanismo que permite adicionar, como única parcela, a mesma contagem um “número de vezes” a que se chama de multiplicador. Trata-se de uma contagem abstrata de caráter auxiliar.

Neste artigo a expressão “número de vezes” e a palavra “multiplicador” têm igual significado. Como já referido, o multiplicador pode ser inteiro ou fracionário.

O multiplicador ou “número de vezes” é sempre neutro. Em outras palavras, não existe “número de vezes” ou multiplicador negativo!

Por outro lado, nenhuma outra contagem pode multiplicar um multiplicador! Um multiplicador só pode ser multiplicado por outro multiplicador. Eis que nos cálculos com contagens de módulos a ordem dos fatores altera o produto! Três salas de aula de (= três vezes) vinte alunos totalizam sessenta alunos. Mas vinte alunos em três salas não perfazem sessenta salas!

Ver, portanto, que uma contagem de módulos nunca multiplica outra contagem de módulos! Não faz sentido multiplicar um lucro no balanço pela área de um terreno ou elevar uma dívida bancária ao quadrado. Até parece um truísmo, mas, nada obstante e como veremos, um entendimento fundamental na matemática!

Contagens multiplicadoras e contagens multiplicadas

Vamos verificar como se comporta cada contagem em relação à multiplicação:

- Contagem de “número de vezes”: um “número de vezes” pode multiplicar as outras contagens, até mesmo outro "número de vezes", tanto quanto multiplicar números isolados. Uma contagem multiplicada por um “número de vezes” dá lugar a outra contagem de mesma unidade: 5 vezes 10 = 50; 5 vezes 10 laranjas = 50 laranjas; 5 vezes 10 metros = 50 metros; 5 vezes 10 quilos = 50 quilos; (5 vezes) vezes (5 vezes) = 25 vezes.

- Contagem de módulos: uma contagem de módulos pode ser multiplicada por "um número de vezes", mas não pode ser usada como multiplicador de outra contagem de módulos ou de qualquer outra contagem. A consequência é que as equações que importam, ou seja, aquelas que envolvem módulos, são sempre do primeiro grau.

- Contagens de passos: as contagens de passos podem ser multiplicadas por um “número de vezes”, mas também podem se multiplicar, neste caso obtendo uma área, com unidade ao quadrado, e multiplicar uma área, obtendo um volume, com unidade ao cubo. Como consequência, os polinômios relevantes podem ser de primeiro, segundo e terceiro graus. As contagens de passos estão relacionadas à geometria, ou seja, ao estudo da forma, tamanho e posição relativa de linhas, figuras e sólidos. Uma unidade básica serve para expressar comprimentos. Uma segunda unidade, que corresponde ao quadrado da unidade básica, é usada para quantificar áreas. Uma terceira, o cubo da unidade básica, é usada para quantificar volumes. 

- Quantidades físicas: as quantidades físicas, de acordo com fórmulas impostas pela física, e a elas atendendo, podem ser multiplicadas por um "número de vezes", multiplicar-se ou multiplicar qualquer outra quantidade física, sempre com participação das unidades envolvidas.

Imagens de contagens e imagens de imagens

Podemos imaginar que uma contagem de módulos, assim como uma contagem de passos, esteja linearmente representada no eixo das abscissas, partindo de um ponto zero. Como somas algébricas, essas contagens podem ser positivas ou negativas. 

As contagens positivas correspondem metaforicamente aos chamados “números positivos”, enquanto as contagens negativas correspondem metaforicamente aos chamados “números negativos”.

Uma contagem negativa (“um número negativo”) é a imagem de uma contagem positiva (“um número positivo”) de igual magnitude e vice-versa:

(- a) = imagem da contagem “+ a” = - (+ a)

(+ a) = imagem da sua própria imagem = - (- a)

Subtrair contagens ou subtrair imagens de contagens

Subtração de (+ b)

A subtração de uma contagem corresponde à soma da sua imagem, como a seguir:

(a) - (+ b) = (a) + (- b)

Subtração de (- b)

A subtração da imagem de uma contagem corresponde, por seu turno, à soma da própria contagem (pois uma contagem é a imagem da sua imagem):

(a) - (- b) = (a) + (+ b)

Produtos com fatores negativos

Uma multiplicação com dois fatores negativos não implica admitir multiplicador negativo, conforme se pode ver nos dois casos a seguir.

Primeiro caso: multiplicação de (x - a) por (x - b)  

A multiplicação com dois fatores negativos é consequência de um acidente matemático que ocorre dentro das operações algébricas, mas nunca em eventos da vida real. Por exemplo, a multiplicação algébrica de (x - a) por (x - b) dá lugar à seguinte soma algébrica:  

x² - ax – bx + (- a) x (- b)

Última parcela da soma algébrica acima, “(- a) x (- b)” é, portanto, uma ocorrência no interior de uma operação matemática, cabendo lembrar que estamos multiplicando (x - a) por (x - b), e não (- a) por (- b).

O que significa e qual o resultado P dessa multiplicação incidental com dois fatores negativos?

Resposta: partindo do pressuposto de que o multiplicador é sempre positivo, um dos sinais negativos indica que o produto é negativo e o outro, que tal produto negativo é uma imagem. O resultado é, portanto, a imagem da imagem de uma contagem, ou seja, a própria contagem, positivamente considerada. Do seguinte modo:

P = (- a) x (- b) = - (a) x (- b) = - (- a) x (b) = - (-ab) = + ab

Ver, no Apêndice 3, uma demonstração da igualdade acima com recursos da geometria.

O raciocínio, válido para contagens de passos, vale também em caso de fatores com números isoladamente considerados, isto é, números não vinculados a contagens. 

A multiplicação com dois fatores negativos não ocorre no nosso quotidiano, pelo fato de que não há “número de vezes” negativo; ninguém pode cobrar de outrem uma dívida de “menos cinco vezes” o aluguel devido ou receber “menos três vezes” uma dúzia de maçãs.

Segundo caso: multiplicação dentro de uma equação:

Seja o caso de efetuar a multiplicação

P = - 5 (7 - x),

que ocorra num desenvolvimento algébrico (no interior de uma equação, por exemplo). É evidente que x é uma contagem de passos ou de módulos, ou mesmo uma quantidade física, tanto quanto 7. Ou então 5, x e 7 são números isolados de uma equação lúdica. Em qualquer dos casos, 5 é o multiplicador, que não pode ser negativo.  Logo, o que se quer calcular é a imagem de 5 (7 - x).

P = - (5 (7 - x)) = 

imagem de (5 (7 - x)) = 

imagem de (35 – 5x) = 

5x - 35

Um “número negativo” elevado à potência “n”

A imagem de uma contagem (isto é, um “número negativo”) não pode ser a base de nenhuma potência, dado que não pode atuar como multiplicador. Ou seja, não é possível elevar um “número negativo” ao quadrado, ao cubo etc.

Como então interpretar e proceder, se numa operação algébrica com polinômios surgir uma expressão como (-a) ⁿ? Resposta: (-a) ⁿ é igual a (-a) multiplicado por (a)^(n-1), com resultado positivo, se “n” for 2, e resultado negativo, se “n” for 3. De fato, uma multiplicação de caráter acidental, somente possível com contagens de passos, relevante na geometria, no trato com polinômios do segundo e do terceiro graus. Ou com números isolados, nos polinômios de caráter lúdico.

Seja calcular x², para x = - 11, e x³, para x = - 5:

x² = (- 11)² = - (11) x (- 11) = - ( -121) = + 121

x³ = (- 5)³ = - - (5)² x (- 5)   = - - (25) x (-5) = - 125

Observação

Um “número negativo” nunca resulta de uma raiz quadrada porque “números negativos” (imagens) não têm quadrado.

Equações

É importante o entendimento de que "equação" é o confronto de duas somas algébricas de contagens construídas para serem iguais, uma das quais, ou ambas, contendo uma contagem desconhecida, que se quer conhecer, designada pela letra “x” e denominada “incógnita”.

É um mecanismo desenvolvido caso a caso para a resolução de problemas aritméticos.

As equações que envolvem contagens de módulos são as “equações que importam” ou "prestantes" e as que envolvem números isolados são as “equações lúdicas”. No caso geral, sejam “equações que importam” ou “lúdicas”, existe um único “x”, desconhecido, que se pretende descobrir. Ressalve-se o caso da chamada equação do segundo grau, que é na verdade uma equação ambígua do primeiro grau, lúdica, com duas possibilidades e duas soluções interligadas. Ver Apêndice II.

Uma equação que importa, a de contagens de módulos, sempre tem de incluir duas contagens: uma incógnita x e um termo independente de x. Não existe equação sem termo independente de x.

As equações de contagens de módulos são relevantes em matemática, enquanto as de números isolados são apenas lúdicas. Por que lúdicas? Porque a princípio despertam interesse restrito, meramente recreativo, sem aplicação na vida real. Qual a utilidade, que não lúdica, de encontrar números isolados e sem nenhuma conexão com a realidade, ou seja, números que nada significam? Podemos, por exemplo, construir uma equação e descobrir que os três “números” consecutivos que somam 141 são 46; 47; e 48, mas não há nenhuma utilidade, que não recreacional, nessa resposta.

A equação envolvendo números isolados pode ser de qualquer grau, desde que resulte de uma igualdade imposta a duas somas algébricas a partir de um problema proposto. No entanto, não é fácil construir equações de grau maior que um. Se, não obstante, puderem ser construídas, outro problema será resolvê-las.

A única equação de grau superior que se conhece é a equação lúdica, do segundo grau, necessária para encontrar “dois números de soma S e produto P”. Um caso excepcional de equação com duas incógnitas, que, não obstante, corresponde na verdade a uma equação do primeiro grau abrigando duas versões imbricadas por uma questão de simetria.

Seja agora comentar sobre a dica de multiplicar “(x - a)” por “(x - b)” por “(x - c)” etc., “n” vezes, e igualar o resultado a zero para obter uma “equação” de grau “n”, com “n” “raízes”. Trata-se de uma equação falsa, pois não foi erigida impondo igualdade a duas somas algébricas de contagens. O polinômio lúdico obtido é certamente igual a zero para x = a, para x = b, para x = c, e assim por diante, mas encontrar essas "raízes" é exercício tedioso, certamente inútil, de enxugamento de gelo.

Ressalte-se, ainda uma vez, que a equação é uma igualdade imposta a duas somas algébricas de contagens, nas quais existe um termo desconhecido, designado pela letra “x” e denominado “incógnita”. Se a incógnita for uma contagem de módulos, a equação é necessariamente do primeiro grau porque uma contagem de módulos não pode ser multiplicada por outra contagem de módulos ou elevada a qualquer potência.

Polinômios

Assim como a contagem de módulos serve à aritmética, a contagem de passos serve à geometria, da qual um dos instrumentos é o polinômio, uma espécie de fórmula para estudar linhas, figuras, sólidos e suas relações.

Os "polinômios que importam" operam com contagens de passos e suas duas unidades derivadas (passo, passo² e passo³) e podem ser de primeiro, segundo e terceiro graus.

Se o polinômio for do primeiro grau, é uma contagem de passos; se do segundo grau, uma área; se do terceiro grau, um volume. Todos os polinômios de grau acima de três são lúdicos.

O polinômio é uma fórmula, não um confronto de somas algébricas de contagens, e nesta condição o seu valor pode corresponder a todo e qualquer valor de “x”, arbitrariamente escolhido. Diversamente, o “x” de uma equação é único e responde a um problema proposto. Igualado um polinômio a zero, a igualdade resultante corresponde aos pontos nos quais ele se anula, não dando surgimento a uma equação. 

Matemática na ciência

A ciência tem regras especiais para a matemática e impõe caso a caso suas fórmulas e unidades. A física indica, por alguma fórmula, se a expressão numérica de uma propriedade física pode ser multiplicada por si ou pela expressão numérica de outra propriedade física. Por exemplo, números e unidades estão envolvidos na fórmula da lei da gravidade, na qual a expressão numérica de uma força, em newtons, resulta de cálculos com expressões numéricas em metros e quilogramas:

F = G. m₁.m₂ / r²

F = força gravitacional, em "newtons", n

m₁ e m₂ = massas, em “quilogramas”, k

 r = distância, em “metros”, m

G = constante de gravitação universal, em “(n.m² / k²)”, unidade gerada pela fórmula.

Outro ponto de interesse é que a física é livre para elevar suas propriedades a qualquer potência. Por exemplo, a lei de Stefan-Boltzmann estabelece que a potência emissiva (e) do corpo negro é proporcional à quarta potência de sua temperatura absoluta (T):           

e= c.T⁴                                                                 

e = potência emissiva, em “watt/m²”

T = a temperatura absoluta, em “graus Kelvin.”

c = constante de proporcionalidade, em unidades derivadas da fórmula.

CONCLUSÕES

As operações matemáticas relativas a equações e polinômios devem ser feitas com expressões numéricas de contagens, envolvendo nos cálculos os números e as unidades das contagens. O número é neutro. Não existem números positivos, negativos ou imaginários.

As expressões numéricas que resultam de somas algébricas (as contagens de módulos e as contagens de passos), estas sim, podem ser positivas ou negativas.

Uma contagem negativa corresponde à sua imagem; uma contagem (positiva) é a imagem da sua imagem. Subtrair uma contagem é adicionar sua imagem à soma algébrica; subtrair a imagem de uma contagem é adicioná-la à soma algébrica.

A multiplicação é, numa soma algébrica, um mecanismo que permite adicionar, como única parcela, a mesma contagem um “número de vezes” a que se chama de multiplicador. O entendimento do que seja uma multiplicação e de suas limitações é fundamental nas decisões e nos processos matemáticos.  

Não há multiplicação com multiplicadores negativos. Dois fatores negativos são um acidente algébrico no âmbito de operações algébricas, ensejando resultado positivo, como imagem de um produto negativo. A imagem de uma contagem não pode ser potenciada, pois não há multiplicador negativo. Não existe, pois, raiz quadrada de “número negativo”. Tampouco existem "números imaginários".

As equações são uma ferramenta da aritmética. As “equações que importam”, construídas necessariamente com contagens de módulos, são sempre do primeiro grau. As equações com números isolados são lúdicas e, se possível construí-las, podem ser de qualquer grau. Os polinômios são uma ferramenta da geometria; os “polinômios que importam”, construídos com contagens de passos, podem ser de primeiro, segundo e terceiro graus.

A "fórmula" de Bhaskara é a junção de duas fórmulas que podem ser demonstradas pela geometria e serve para extrair as raízes de um trinômio do segundo grau. Essas raízes são passos, como todos os pontos do trinômio.

A equação do "segundo grau" é na verdade uma equação do primeiro grau com duas versões, cada uma com uma incógnita numericamente igual a seu multiplicador. Esse entendimento teria evitado muita confusão na matemática; um exemplo foi a insólita criação dos números imaginários.

APÊNDICE I

O trinômio do segundo grau

O trinômio do segundo grau é a fórmula geométrica da parábola

y = ax² + bx + c

Ver, na figura 1, que cada ordenada y* corresponde a dois pontos simétricos da parábola, cujas abscissas são x*₁ e x*₂.

Figura 1

As raízes da parábola (x₁ e x₂₎ podem ser calculadas usando a fórmula de Bhaskara, x₁ e x₂ = (- b ± √ (b²- 4ac)) /2a, que assim se pode demonstrar: 

y = ax² + bx + c     

y´= 2ax + b (derivada primeira). O ponto M, de ordenada mínima (que corresponde a y' = 0) e abscissa x_m, é a referência para a simetria da parábola.

x_m = - b/2a

x_m dista “d” das raízes x₁ e x₂.

x₁ = x_m – d = - (b + 2ad) /2a

x₂ = x_m + d = - (b - 2ad) /2a

Cálculo de x₁

ax₁² + bx₁ + c = 0

Substituindo, na equação acima,

 x₁ por - (b + 2ad) / 2a e desenvolvendo, temos

x₁ = (- b - √ (b² - 4ac)) /2a                 (1)

Cálculo de x₂

x₂² + bx₁ + c = 0

Substituindo, n\a equação acima,

 x₂ por - (b + 2ad) / 2a e desenvolvendo, temos

x₂ = (- b - √ (b² - 4ac)) /2a       

x₂ = (- b + √ b² - 4ac)) /2a                 (2) 

Englobando (1) e (2), temos a fórmula de Baskhara

(= (- b ± √ b² - 4ac)) /2a

Observação importante: a ocorrência de (b² - 4ac) menor que zero implica raiz quadrada impossível, indicando que a parábola não possui raízes, por estar totalmente acima ou totalmente abaixo do eixo dos “x”, como nas duas representações da Figura 2.

 

Figura 2

APÊNDICE II

A equação de segundo grau

O trinômio y = x² - 5x + 6, se igualado a zero, permite calcular os pontos em que se anula a parábola que lhe corresponde, ou seja, suas raízes são 2 e 3, como vimos no Apêndice I. Esse cálculo pode ser feito com o recurso geométrico da fórmula de Baskhara.

Vejamos, por outro lado, o que acontece quando tentamos resolver a seguinte questão: calcular dois números, x₁ e x_2, de soma 5 e produto 6. A qual nos leva a multiplicar “x” por (5-x) e igualar o resultado a 6, ou seja, construir a equação lúdica: x² - 5x + 6 = 0, construída, portanto, com números isolados.

A igualdade x² - 5x + 6 = 0 é, desse modo:

- Na geometria: uma equação do segundo grau falsa, que resulta de um polinômio igualado a zero. Os valores envolvidos são contagens de passos ou de seus quadrados.

- Na aritmética: uma equação do segundo grau lúdica, mas real, que resulta de da combinação de dois confrontos de informações para resolver um problema proposto. Não se trata propriamente de uma equação a exprimir um único confronto, mas de uma fusão de duas equações, a saber, x₁ + x₂= 5 e x₁. x₂ = 6. 

É possível encontrar x₁ e + x₂ com recursos aritméticos. São dois números isolados cuja soma é 5 e o produto é 6. Calculando x₁, teremos x₂= 5-x₁. 

Para calcular x_1, façamos x₁ = j + k, com j ≠ 0 e k ≠ 0

x₁² - 5x₁ + 6 = 0                    (1)

Se x₁ = j + k, então 

x₁² ₌ (j + k) ² = j² + 2jk + k²         e 

- 5x₁ = - 5j -5k, 

de modo que, substituindo em (1), temos 

j²+ 2jk + k² - 5j -5k + 6 = 0

Rearranjando

(2jk - 5k) + (j² + k^2- - 5j + 6) = 0    

Para garantir a nulidade acima, basta que

(2jk - 5k) = 0 (primeira parcela)

e

 (j² + k^2- - 5j + 6) =0 (segunda parcela)

               Primeira parcela calcula j

(2jk - 5k) = 0     

k ≠ o

k (2j - 5) = 0      

j = 5/2 = 2,5

              Segunda parcela calcula k

(j² + k² - 5j + 6) = 0

(j² + k² - 5j + 6) = 0

j = 2,5

(2,5)2 + k²- 5 x 2,5 + 6= 0

k = ½

              Valor de x₁

x₁ = j + k = 5/2 + ½ = 3  

Valor de x₂

 x₂= 5 –x₁ = 2

Obtivemos desse modo os valores de x₁ e x₂ com recursos aritméticos, sem recorrer à formula de Bhaskara.     

Elucubração final sobre a equação do segundo grau

A equação do "segundo grau" é na verdade uma equação do primeiro grau que abriga duas versões diferentes, cada uma com uma incógnita numericamente igual ao seu multiplicador.

Com efeito, consideremos a equação ax² + bx + c = 0. A equação parece do segundo grau, mas é na verdade do primeiro grau porque nela x² é o produto de um “número de vezes” x* por um número isolado x, ou seja, um número isolado multiplicada por um número de vezes de igual valor quantitativo. Não se trata, de fato, de um quadrado. A fusão das duas equações (x₁ + x₂ = 5   e x₁.x₂ = 6) resultou numa equação do primeiro grau que serve à obtenção de duas incógnitas e nesse mister utiliza em ambas as versões sua soma S e seu produto P. 

x*₁. x₁ - Sx₁+ P = 0, 

x*₂. x₂ - Sx₂ + P = 0, 

Primeira versão da equação do primeiro grau presente na equação x² - 5x + 6 = 0

2x₁ - 5x₁ + 6 = 0                          x₁= 2

Segunda versão da equação do primeiro grau presente na equação x² - 5x + 6 = 0

3x₂ - 5x₂ + 6 = 0                          x₂ = 3

APÊNDICE III

O objetivo aqui é mostrar geometricamente por que é positivo o produto de dois fatores negativos. Assumindo, por exemplo, que (x - a) e (x - b) sejam os lados do retângulo A₁, o cálculo de sua área, (x - a) versus (x - b), desdobra-se numa soma algébrica em que uma das parcelas é o produto (-a) x (-b), como abaixo:

A₁ = (x - a) x (x - b) = x² - ax - bx + (- a) x (- b)                       (Relação I)

Seja o quadrado de lado “x” e área A, Figura 3. Dividamos o lado inferior desse quadrado nas parcelas "a" e “(x - a)”, e o lado adjacente esquerdo, nas parcelas  “b” e (x – b)” e (x – b).

                                                 Figura 3                                                         

O quadrado de área A fica assim repartido em quatro retângulos, com áreas A₁, A₂, A₃ e A₄, de forma que:

A = A₁ + A₂ + A₃ + A₄          

_{(A = área do quadrado externo)} 

A₁ = A - A₂ - A₃ - A_{4 ("produto")}           

Ver que:

A_{1 = área do retângulo considerado inicialmente = (x - a) x (x - b)).}

A = + x²

A₂ = + ax - A₄

A3 = + bx - A₄

A₄   = + ab

Ao substituir no "produto" os valores, como acima, de A, A_2, A₃ e A₄, 

obtemos

A₁= + x² - (+ ax - ab) - (+ bx - ab) - ab 

A₁=x² - ax - bx + ab                                                                                    (Relação II)

A₁ (Relação I) = A₁ (Relação II), resultando:

(-a) x (-b) = + ab                         

Ou seja, (-a) x (-b) iguala-se a +ab em decorrência e como resultado de uma sucessão de operações necessárias para recuperar uma contagem que de outro modo seria indevidamente subtraída do produto (x - a) x (x - b).

Assim se explica como o produto dos dois fatores negativos resultou positivo e ajuda a entender por que “menos multiplicado por menos dá mais”, em linha com o entendimento de que a multiplicação com dois fatores negativos, (- a) e (- b), gera a imagem de um produto negativo, (- (- ab)), isto é, um resultado positivo (+ ab).

Nunca será demais lembrar que a multiplicação com dois fatores negativos é uma consequência no âmbito de operações algébricas, mas nunca em eventos da vida real. Cabe lembrar que, no exemplo acima, estamos na verdade multiplicando (x - a) por (x - b), e não (- a) por (- b).

 

THE MATHEMATICS OF NUMERICAL EXPRESSIONS

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Important mathematical problems stem from the fact that calculations are made with numbers considered in isolation, not with numerical expressions. This article aims to point them out and suggest corrections. For this, it is necessary to redefine the concept of “number” and introduce that of “numerical expressions”, in addition to discussing the meaning of “multiplication”, “images and signs”, “equation”, “polynomial” and other issues. The conclusions reached are surprising, not to say disturbing.

  A MATEMÁTICA PODE SER DIFERENTE?

               
Remo Mannarino

Introdução

Apresento neste livro três entendimentos matemáticos contrários ao senso comum:

(1) Números são neutros: não há números positivos, nem números negativos. Expressões numéricas entram nos cálculos, não os números isoladamente considerados, e o fazem mediante permissão da aritmética, da álgebra, da geometria ou da ciência.

(2) É preciso aprender a multiplicar. A ordem dos fatores altera o produto e não existe a figura do “menos por menos dá mais”. Posso multiplicar uma medição por outra medição, mas não posso multiplicar uma contagem por outra contagem.

(3) Equações são torneios horizontais, com “x”, mas sem “y”. As equações verdadeiras são do primeiro grau e têm uma única incógnita. A estranha equação do segundo grau é exceção, pois tem, em dois contextos diferentes, uma versão falsa, com duas raízes, e uma versão verdadeira, mas lúdica, com duas incógnitas. A propósito, não há equações preestabelecidas, nem gratuitas.

Durante dez recentes meses estive percorrendo os fundamentos da matemática em regime de dedicação total, pelas razões que apresentarei no decorrer desta Introdução. A bem da verdade, foi a primeira vez que entrei de corpo e alma no estudo da matemática, da qual por sinal estava afastado havia mais de cinquenta anos. E desta vez eu o fazia sem amarras ou preconceitos de nenhuma natureza.

Sempre suspeitei que o número é uma ferramenta neutra, sem nenhum sinal, ou melhor, que não há números “positivos” ou “negativos”, muito menos números “imaginários”, consubstanciando um entendimento que nunca tivera coragem de enfrentar, porque em oposição frontal à matemática que aprendi nos livros. Além disso, especular sobre essa hipótese ousada seria tarefa para profissionais especialistas do ramo, não para mim, que nem sou matemático.

Desta vez, porém, agindo de modo diverso, decidi assumir a premissa de que números realmente não têm sinais e com esse entendimento durante meses dediquei-me com exclusividade absoluta à tarefa de examinar expressões numéricas, contagens, somas algébricas, multiplicações, equações e polinômios.

Colhi na empreitada resultados que me parecem surpreendentes, e nutro, com humildade, a ambição de que venham a ser examinados por estudiosos da matemática.

Há, com efeito, dois tipos de contagens, a saber, contagens de módulos, isto é, de “coisas”, e contagens numéricas ou abstratas (isto é, de posições ou de “vezes”), com finalidades matemáticas diferentes.

As contagens, não os números, são positivas ou negativas.

Uma contagem negativa é a imagem de uma contagem positiva.  
    

As imagens das contagens explicam, nas suas inter-relações, a metáfora do “menos por menos dá mais”, o que também pode ser explicado geometricamente.

Nas contagens só o multiplicador multiplica, isto é, a ordem dos fatores altera o produto.

Equações envolvendo contagens são necessariamente do primeiro grau, com uma única incógnita. As equações de números isolados podem ser de qualquer grau, mas, com mais de uma incógnita, só conheço até agora a equação do segundo grau.]

Percebi que há na matemática o equívoco de considerar um polinômio igualado a zero como uma equação. Um polinômio é uma soma algébrica, função de uma variável “x”, que define um total diferente a cada valor arbitrariamente atribuído a “x”; igualado a zero, o polinômio indica o ponto da curva representada em gráfico cartesiano em que a soma algébrica se anula. Por seu turno, uma equação é o confronto de duas somas algébricas, obrigadas a serem iguais, e serve ao cálculo do valor de uma contagem, não à localização de um ponto.

Ou seja, há equações, que calculam contagens, e falsas equações, que localizam pontos. Equações com enredo, concretas, e equações sem enredo, abstratas.

Tentarei explicar tudo isso neste livro. Antes, porém, devo revelar o motivo do meu interesse tardio pelos fundamentos da matemática. Foi uma tentativa, meio pretensiosa e sobretudo amadora, de resgatar os estudos do professor Astyages Brasil da Silva, falecido em setembro de 2017. Trata-se de um amigo da época universitária, profundo conhecedor de geometria descritiva, que me afirmou repetidas vezes haver construído uma nova matemática, além de me fazer comentários que deixavam transparecer seu desapreço pelo que chamava de “modelo matemático atual”.

Tanto quanto pude saber e perceber, ninguém tomou conhecimento dessa matemática alternativa, que o mestre só revelaria mediante patrocínio ou no âmbito de algum contrato remunerado, que jamais logrou conseguir.

Afirmava, por exemplo, que tinha um novo conceito de número negativo, que “menos por menos dá menos”, que “uma equação do grau “n” pode ter mais de “n” raízes ou menos de “n” raízes”, que (-5)² = -25, que a imagem de “x” é “x-2x”.

Comecei a pesquisa pelas equações do primeiro grau. Foram tentativas exaustivas. Não cheguei ao modelo procurado, cujos fundamentos não consegui minimamente alcançar. Paralelamente, o engenheiro Sandoval Amui decidiu, como eu, pesquisar os fundamentos da matemática à luz dos comentários do professor Astyages, que lhe foram por mim repassados. Nessa empreitada, Amui, sobretudo interessado na geometria, acabou desenvolvendo importantes e inovadores estudos sobre o Teorema de Pitágoras, para o qual apresentou uma generalização, e construiu uma demonstração da Conjectura de Fermat, simples e convincente, conforme apresenta no livro “A Circunferência, Pitágoras e Fermat”, publicado em novembro de 2019 pela Editora Catalivros. Mas não conseguiu, igualmente, nenhuma pista do modelo de Astyages.

Decidi então assumir a minha velha hipótese de que não há números negativos, e o esforço de muitos meses me rendeu as percepções que acima mencionei. Atirei no que vi, acertei no que não vi, o que me levou a publicar em julho de 2019 o livro “Reflexões de um matemático acidental”, com a pretensão de ver esses entendimentos examinados, mesmo pressentindo que o livro não despertaria nenhum entusiasmo ou interesse.

Afinal, sou um assumido não-matemático desconhecido.

A indiferença com que o livro foi recebido confirmou o pressentimento: não tive nenhum retorno ou comentário, nem para o bem, nem para o mal. Reconheço, porém, que dificilmente poderia ter sido de outra forma, pois o livro não primou pela organização, nem estava otimizado didaticamente.

Escolhi não desistir e por isso aqui retorno com este segundo livro, que escrevi com a finalidade de reiterar e ampliar os mesmos entendimentos, desta vez seguindo um roteiro e com um texto que me parece apropriado. Também corrijo algumas imperfeições do livro anterior e adiciono uma explicação completa sobre a equação do segundo grau, após introduzir o conceito de “falsas equações”.

Este novo livro tem poucas páginas, mas sua leitura pode não ser atraente, pois sobretudo voltado para conceitos e definições.

Acredito em tudo que nele escrevi, pois resume minha nova percepção da matemática. Sei que posso estar enganado, talvez muito enganado. Seja como for, minha intenção é contribuir de alguma forma para o progresso da matemática.

Remo Mannarino

CAPÍTULO I – OS ENTENDIMENTOS APRESENTADOS NESTE LIVRO

O número é uma ferramenta neutra, nem positivo, nem negativo.

O número, isoladamente considerado, informa uma magnitude, mas a forma de usar uma expressão numérica depende da natureza do que está sendo por ela quantificado e da aplicação matemática a que se destina.

A expressão numérica entra nos cálculos, não o número em abstrato, e ela o faz mediante uma autorização, seja da aritmética, da álgebra, da geometria ou da ciência.

“Número positivo” e “número negativo” não são números, mas expressões numéricas de contagens. Não tem nenhum sentido, por exemplo, elevar um “número negativo” ao quadrado ou extrair a raiz quadrada de um “número negativo”.

O que importa é a informação numérica, não propriamente o número. Um número, isoladamente considerado, é como um verbo no dicionário, ali acantonado, sem sujeito e sem complementos, a informar uma ação sem dizer quem, onde, como ou quando.

 

Sobre medir, contar e multiplicar

Medir (tanto quanto pesar ou aferir) é comparar. Mede-se (pesa-se ou afere-se) para a geometria e para a ciência.

Contar, porém, é diferente. Conta-se para a aritmética e a álgebra.

Só uma contagem especial, um “número de vezes”, pode multiplicar outra contagem, seja esta de módulos ou abstrata.

Uma expressão numérica pode ser elevada ao quadrado? Depende. Por exemplo, uma medida geométrica sempre pode; a massa de um corpo às vezes pode; uma contagem de módulos nunca pode.

Sobre expressões numéricas

A matemática é feita com expressões numéricas, não com números.

Peço observar, nas quatro multiplicações abaixo, que as expressões numéricas entram nos cálculos, tanto nos dados como nas respostas, e não somente os números:

3 x 3 = 9 (uma contagem abstrata é multiplicada)

3 x 3 livros = 9 livros (uma contagem de módulos é multiplicada)

3 m x 3 m = 9 m² (duas medições se multiplicam)

3 m/s x 3 s = 9 m (duas grandezas da física se multiplicam)

Sobre polinômio e equação

O polinômio não é propriamente uma igualdade, mas uma definição matemática feita por meio de uma soma algébrica de contagens abstratas, nas quais há um “x” variável, isto é, um “x” que pode assumir valores arbitrariamente escolhidos.

A equação é uma igualdade imposta a duas somas algébricas, nas quais consta uma contagem desconhecida, “x”. Assim entendida, a equação tem um único valor para “x”, ressalvado o caso excepcional, o único que conheço, da equação do segundo grau, que discuto no Capítulo IX.

Polinômios igualados a zero não dão origem a equações e apenas indicam o ponto ou os pontos onde uma figura se anula. São equações falsas, sem sentido e quase sempre insolúveis, ressalvados apenas o caso da linha reta e o excepcional caso do trinômio do segundo grau.

Sobre a fórmula de Bhaskara

A fórmula de Bhaskara, que permite calcular as raízes de uma equação do segundo grau, é a recíproca matemática do trinômio quadrado (y = ax² + bx + c). Quando se tratar de uma parábola, você pode escolher o caminho:

dado “x”, o trinômio calcula “y”;

dado “y”, a fórmula de Bhaskara calcula o par de valores de “x” que lhe corresponde.

A fórmula de Bhaskara se aplica a todos os pontos da parábola. E a nenhum ponto fora dela! Cuidado, pois, para não criar “números imaginários”...

CAPÍTULO II - CONCEITO DE NÚMERO

Número é uma ferramenta neutra e múltipla ao infinito, que serve para exprimir contagens e aferições, em geral. As contagens podem ser de módulos ou abstratas.

Explicando ferramenta neutra e múltipla ao infinito

O número é neutro, uma ferramenta sem nenhum sinal.

O número é múltiplo ao infinito: há infinitos escaninhos, cada um com um número, a partir de 1.

Não há números positivos nem negativos nos infinitos escaninhos.

Explicando contagem de módulos

A contagem de módulos é a soma algébrica, unidade por unidade, de uma dada quantidade de módulos, ou seja, de “coisas” (100 laranjas). Subtrair uma contagem é o mesmo que somar a imagem dessa contagem.

Uma contagem de módulos multiplicada por um “número de vezes” tem outra contagem de módulos como resultado.

(5 vezes 100 laranjas = 500 laranjas)

Uma soma algébrica de contagens de módulos é também uma contagem de módulos.

(500 laranjas + 100 laranjas = 600 laranjas)

(500 laranjas - 100 laranjas = 400 laranjas)

Por ser uma soma algébrica, uma contagem de módulos pode ser positiva ou negativa. Se negativa, o sinal de “menos” é obrigatório na expressão quantitativa (- 500 laranjas).

A contagem de módulos resulta num número seguido do módulo a que se refere: por exemplo, uma conta bancária, que conta reais, pode ser, respectivamente, superavitária (+ 100 reais) ou deficitária (- 100 reais).

Os sinais de “mais” (+) e de “menos” (-) não são atributos dos números, mas das contagens.

Explicando contagem abstrata

Enquanto uma contagem de módulos especifica o que foi contado, a contagem abstrata quantifica um avanço (ou recuo), como no caso da construção de uma figura, ou um “número de vezes”, necessário a uma multiplicação.

Por ser uma soma algébrica, a contagem abstrata no caso geral pode também ser positiva (tradicional e impropriamente chamada de “número positivo”) ou negativa (tradicional e impropriamente chamada de “número negativo”). Na prática, os conceitos de número e contagem abstrata são tomados como indistintos, mas é fundamental separar número “ferramenta” de número que exprime uma contagem, porque aquele é neutro e apenas indicativo de quantidade (100), enquanto a contagem, que é uma soma algébrica, construída passo a passo, pode ser positiva (+100) ou negativa (- 100), indicando uma posição à frente ou atrás.

Os sinais de “mais” (+) e de “menos” (-) não são atributos dos números, mas das contagens.

As contagens abstratas são usadas como multiplicadores de contagens ou de medições e no estudo dos polinômios e figuras.

Explicando as aferições

Medições, pesagens e outras aferições são feitas por comparação com unidades físicas arbitrariamente escolhidas, como o metro, o quilograma e o segundo. O resultado de uma aferição é uma expressão numérica, com o número indicando quantas vezes a unidade foi requerida na aferição.

Correlação com os esportes

O número é o núcleo da expressão numérica de uma frequência, de uma posição, de uma quantidade de módulos, de uma medição geométrica ou de uma aferição de uma grandeza física.

A esse respeito, cabe uma correlação da matemática com os esportes, vários deles praticados com bola. Sem bola não há jogo. Cada modalidade esportiva tem:

- Uma bola diferente: bola de futebol, bola de tênis, bola de voleibol, bola de basquetebol; 

- Regras diferentes.

O equivalente matemático da bola é a expressão numérica, sem a qual também não há matemática. São as seguintes as expressões numéricas, com os respectivos jogos matemáticos:

(1) Contagens abstratas de frequências, isto é, de “números de vezes”: seus números são usados nas multiplicações de contagens.

(2) Contagens abstratas de avanços (posições): seus números são usados no estudo das funções e no estudo de figuras.

(3) Contagens de módulos: seus números são usados na aritmética da vida real e nas equações que envolvem quantidades de módulos, isto é, de “coisas”.

(4) Medições: seus números são usados na geometria e na física.

(5) Aferições com unidades: seus números são usados na física.

Cada jogo matemático tem a sua expressão numérica e suas regras para a utilização do número que ela encerra. Por exemplo, contar, medir e pesar são operações de que resultam expressões quantitativas diferentes, como: (a) 8; (b) 8 laranjas; (c) 8 metros; (d) 8 quilogramas.

Podemos elevar essas expressões ao quadrado?  Para responder à questão, em cada caso temos de levar em consideração a vinculação do número com a grandeza que está sendo quantificada:

(a) 8: a resposta é sim, pois 8 é um número isolado

8 x 8 = 64

Estamos falando aqui de números isolados.

b) 8 laranjas: a resposta é não, pois não há laranjas ao quadrado. As contagens de módulos não podem ser submetidas a nenhuma potenciação ou radiciação.    
          

Estamos falando aqui de contagens de módulos.

(c) 8 metros: a resposta é sim, pois a geometria dá conta de que também existem metros quadrados e metros cúbicos. Logo, a medida de uma distância pode ser elevada ao quadrado e até ao cubo por autorização da geometria, mas a nenhuma outra potência, inteira ou fracionária. A resposta é sim: 8 metros x 8 metros = 64 metros quadrados.

Estamos falando aqui de medições.

Conforme veremos no Capítulo VI, o metro é uma medida (uma unidade); o metro quadrado, uma outra unidade, diferente da primeira; e o metro cúbico, uma terceira unidade, diferente das anteriores. Logo, uma medição (em metros) pode ser multiplicada por outra medição (em metros) para obter uma área (em metros quadrados) e por uma área (em metros quadrados) para obter um volume (em metros cúbicos).

(d) 8 quilogramas: a resposta é “depende”, pois o quilograma é a unidade de uma grandeza física.

Estamos falando aqui de ciência.

Nesse caso, o quadrado é possível quando assim estabelecido em uma fórmula postulada pela física, e não é possível em fórmulas que assim não o determinem.

Conforme veremos no Capítulo VII, por autorização científica uma grandeza física pode ser multiplicada pela mesma grandeza física ou por qualquer outra grandeza física, desde que assim o determine a fórmula aplicável, sempre observando que as unidades se envolvem nas operações, do que decorre uma nova unidade para o resultado obtido.

Concluo mencionando três exemplos de aplicação das expressões numéricas:

(1)  no balanço contábil, que é um exercício de álgebra, os números são fornecidos em reais e a resposta (lucro ou prejuízo) é obtida em reais.

(2) no cálculo de um volume, que é um exercício de geometria, os números são fornecidos em metros e a resposta é obtida em metros cúbicos.

(3) no cálculo da força que atua sobre um corpo, que é um exercício de física, a massa é dada em quilogramas, a aceleração é dada em metros por segundo ao quadrado, e a resposta é obtida em newtons.

Nos três casos, os cálculos são feitos com os números-ferramenta, mas sob a égide das expressões numéricas que eles quantificam, o que significa, em cada caso, saber, por exemplo, se posso ou não fazer multiplicações, se posso ou não elevar os dados ao quadrado ou como devo expressar o resultado da operação. Tudo feito com o cuidado de observar o que acontece com as unidades.

Uma alegoria do que ocorre nos esportes: é preciso respeitar as regras de cada jogo.

CAPÍTULO III – MULTIPLICAÇÃO DE CONTAGENS

A multiplicação de contagens é um mecanismo que permite adicionar, na soma algébrica, uma mesma contagem, positiva ou negativa, por um “número de vezes” chamado de multiplicador.

O multiplicador, embora contagem, é sempre neutro. Pois uma contagem “de vezes” é especial: nunca retrocede! Não há um “número de vezes” negativo!

Nem tem sentido uma contagem multiplicar um multiplicador!

É claro, portanto, que a ordem dos fatores altera o produto! Três salas de vinte alunos dão sessenta alunos. Mas vinte alunos vezes três salas não dão sessenta salas!

Uma contagem de módulos não pode, igualmente, multiplicar outra contagem de módulos! Não posso multiplicar um lucro no balanço por um saldo de gols, nem elevar uma dívida ao quadrado! Parece um truísmo, e, não obstante, a observação é fundamental na matemática!

Essa a razão por que as equações são do primeiro grau!

Multiplicação com dois fatores negativos

A questão do produto com dois fatores negativos só pode aparecer no âmbito das somas algébricas e dos polinômios, onde a multiplicação com multiplicador aparentemente negativo encobre na verdade a subtração de um produto negativo.

Ver que a contagem, seja abstrata, seja de módulos, resulta de uma operação linear, no eixo das abscissas, a partir de um ponto zero.

Logo, um “número negativo”, isto é, uma contagem negativa, é a imagem de um “número positivo”, isto é, de uma contagem positiva:

(- x) = - (+ x);

Um “número positivo”, por sua vez, é a imagem de um “número negativo”:

 (+ x) = - (- x).

Desse modo, um sinal negativo corresponde à subtração de uma contagem positiva, tendo como resultado uma contagem negativa. Dois sinais negativos equivalem à subtração de uma contagem negativa, tendo como resultado uma contagem positiva.

Vejamos, pois, como proceder em caso de dois fatores negativos.

Calcular (-7). (-5)

Apenas um dos fatores pode ser negativo, como sabemos. Desse modo:

(-7). (-5) = - (7). (-5) = - (-35) = + 35

Trata-se, na verdade, da imagem de – 35. Um dos sinais negativos indica que o produto é negativo. O outro indica que o que se quer é a imagem desse produto negativo; portanto, o resultado é um número positivo.

O mesmo raciocínio se repete, com alternância de sinais, para potências maiores.

Calcular x³ para x = - 7

x³ = (-7). (-7). (-7) = - - (7) x (7) (-7) = - 343

Num desenvolvimento matemático, uma contagem pode ser representada por uma letra: “a”, “b” et cetera, de maneira a ter expressões literais do tipo (a + b + 85), (7 - a) e (A x B).

Quando se multiplicam duas expressões literais ou no desenvolvimento de uma equação, pode-se chegar a uma multiplicação com dois fatores negativos, como nos exemplos acima. Essa multiplicação deve obedecer ao rationale anteriormente apresentado:

(-A) x (- B) = - (A) x (-B) = - (-AB) = + (AB) 

Exemplo:

(a-5) x (b-6) =

ab-6a-5b + (-5) x (-6) =

ab-6a-5b - (5) x (-6) =

ab-6a-5b - (-30) =

ab-6a-5b + 30

Logo, (a-5) x (b-6) = ab-6a-5b + 30

Não se trata de (- 5) x (- 6), mas da imagem de (5) x (-6) ou da imagem de (6) x (-5) = imagem de (-30) = + 30. Multiplicar com dois fatores negativos só é possível no âmbito imbricado de operações com expressões literais. O resultado é uma contagem positiva.

Observação: como sabemos, multiplicações entre si de duas expressões literais somente são possíveis se se referirem a medições ou a números isoladamente considerados.

Resolução do exercício anterior com recursos da geometria

Seja calcular A1 = (x - a). (x – b) 

Multiplicar (x - a) por (x - b) equivale a calcular a área de um retângulo de lados (x- a) e (x - b), o que podemos fazer com o auxílio da geometria.

Seja o quadrado de lado x, portanto de área A = x², como na figura abaixo.
  

Desmembremos um dos lados desse quadrado em (x – a) e “a”, e o lado adjacente, em (x – b) e “b”. O quadrado fica, na figura, dividido em quatro retângulos, de áreas A1, A2, A3 e A4, de modo que:

A = A1 + A2 + A3 + A4

A = x²

A1 = (x - a). (x – b) = produto desejado

A2 = ax – ab

A3 = bx – ab

A4 = ab

A1 = A – A2 - A3- A4

A1 = x² - (ax – ab) - (bx – ab) - ab

A1= x² - ax – bx + ab + ab – ab

A1 = x² - ax – bx + ab

Portanto,

(x- a). (x – b) = x² - ax – bx + ab

O produto (ab) resulta positivo a partir de uma soma algébrica de áreas obrigada a ser igual a x², não porque “menos por menos dá mais”, embora esta expressão possa (e deva) ser usada em caráter metafórico.

CAPÍTULO IV – POLINÔMIOS

O polinômio é uma soma algébrica em que uma contagem abstrata, “x”, varia arbitrariamente, e é por isso chamada de variável. A cada valor da variável “x”, temos o correspondente valor do polinômio ou o ponto da figura gráfica que lhe corresponde. 

O polinômio é uma definição matemática, e não propriamente uma igualdade.

Veremos adiante que, diferentemente, uma equação é um cotejo de duas somas algébricas de contagens, obrigadas a serem iguais e no caso geral envolvendo uma única contagem desconhecida, “x”, chamada de incógnita.

Um polinômio igualado a zero torna-se uma falsa equação. Chama-se de raiz de um polinômio à abscissa de um ponto que anula o polinômio. Como a figura correspondente pode fazer revoluteios, a falsa equação pode ter mais de uma raiz ou nenhuma raiz. As raízes de um polinômio de grau superior podem ser obtidas graficamente ou por aproximações sucessivas. Entretanto, como exceção, um trinômio do segundo grau igualado a zero pode ter suas raízes determinadas matematicamente, pela fórmula de Bhaskara ou conforme apresento no Capítulo IX.

Um binômio algébrico corresponde à linha reta; se multiplicarmos uma reta por outra temos um trinômio do segundo grau; se multiplicarmos este por outra reta, um polinômio do terceiro grau; e assim por diante, até chegar a um polinômio do enésimo grau. Igualado esse polinômio a zero, resulta uma falsa equação, que se anula sempre que se anula um dos n fatores, isto é, qualquer das “n” retas que o geraram. Tentar resolver essa equação para encontrar as “n” raízes é um exercício matemático inútil, de trás para frente, de quem está enxugando gelo. Ainda voltarei a esse ponto.

CAPÍTULO V - MATEMÁTICA DAS CONTAGENS DE MÓDULOS

Paulo Silva tem 3 apartamentos, uma dívida bancária de 9.300 reais e 1.600 ações da Petrobras. Essa informação contém três contagens, que não são contagens abstratas, mas contagens de módulos, a saber, apartamentos, reais e ações. “Coisas”, enfim.

A contagem de módulos, como a contagem abstrata de posições, resulta de somas algébricas de contagens parciais simples ou de contagens agrupadas mediante a utilização de um multiplicador.

O multiplicador é a contagem de “um número de vezes”, e sabemos que nunca pode ser negativo.

Imagem

Tratando-se de uma operação linear, com origem no ponto zero, uma contagem negativa de módulos, de modo semelhante à contagem abstrata, é a imagem de uma contagem positiva de módulos, em relação ao ponto zero:

Imagem de (+ x) = (- x)

Imagem de (- x) = - (- x) = (+ x)

Multiplicação

Nenhuma das contagens de módulos do Paulo Silva, mencionadas acima, pode ser elevada ao quadrado, pois não existem apartamentos ao quadrado, reais ao quadrado ou ações ao quadrado!

Consequência: toda equação envolvendo módulos é do primeiro grau e tem uma única raiz.

CAPÍTULO VI - GEOMETRIA

A geometria comporta-se, na sua relação com as medições, como se fosse um ramo da ciência, impondo suas grandezas e gerando suas unidades derivadas. Com efeito, a geometria das medições não trabalha com módulos, mas com três unidades, sendo uma de comprimento, medida diretamente, e duas derivadas (por exemplo, respectivamente, metro, metro quadrado e metro cúbico).

Medições diretas quantificam segmentos de reta (em metros), produtos de dois segmentos de reta quantificam áreas (em metros quadrados) e produtos de segmento de reta por área quantificam volumes (em metros cúbicos).

Ver que na geometria uma medida direta não pode ser elevada a nenhuma potência superior a três, nem a nenhuma potência fracionária.

Além disso, não há equações na geometria, cujas raras igualdades demonstram-se por recorrência aos teoremas, como o teorema de Pitágoras: “num triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma do quadrado dos catetos”.

25

5

5

4

4

3

3

a

b

c

9

16

               

Trata-se de uma igualdade geométrica, uma fórmula imposta por um teorema geral da geometria, que não pode ser confundida com uma equação, pois esta é uma imposição, caso a caso, da igualdade de duas somas algébricas.

CAPÍTULO VII – CIÊNCIA

A ciência, como a geometria das medições, define o que deve ser quantificado, impõe a maneira de fazer mensurações e aferições, cria as unidades e propõe as fórmulas onde usar as expressões numéricas.

Fórmulas são definições matemáticas impostas pela ciência e suas leis.

Nelas se indicam as operações matemáticas a serem realizadas, envolvendo nos cálculos expressões numéricas de unidades. As unidades sofrem modificações resultantes das interações requeridas pelas fórmulas. Por exemplo, um resultado expressando newtons pode resultar de expressões fornecidas em metros e em quilogramas, como na Lei da Gravitação   Universal:

F = G (m1.m2) /r²

“No Universo tudo se passa como se dois corpos se atraíssem com força proporcional às suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância que separa seus centros de gravidade.”               

A medida da força da gravidade (F), em newtons, resulta do produto de um coeficiente gravitacional G (em (newton.m²/kg²) pelo quociente do produto das massas que se atraem (m1 e m2), em quilogramas, pelo quadrado da distância que as separa (r²), em metros quadrados.  Duas massas, em quilogramas, uma distância, em metros, e um coeficiente gravitacional, com sua unidade, e uma resposta em newtons.

CAPÍTULO VIII - EQUAÇÕES

Equação é uma igualdade imposta a duas somas algébricas, das quais consta um termo desconhecido, designado pela letra “x” e chamado de incógnita.

Trata-se de uma igualdade construída, podendo ser de módulos ou de números isolados (lúdica), que adiante definiremos. Uma equação em que a incógnita é uma contagem de módulos tem de ser necessariamente do primeiro grau porque não se pode multiplicar uma contagem de módulos por outra e não se pode elevá-la a nenhuma potência. Desse modo, a equação envolvendo módulos é sempre do primeiro grau e só pode ter uma raiz, a incógnita “x” a ser descoberta.

 “x” é uma contagem.

Método veneziano

A equação tem como paradigma o “método veneziano”, também chamado de “método das partidas dobradas”, justapondo duas somas algébricas de contagens construídas para serem iguais. É o que fazem as empresas para apurar se houve lucro ou prejuízo nas atividades do ano.

O que legitima a equação impositiva é uma garantia de igualdade das duas somas algébricas, que pode ser metodológica, como nas partidas dobradas da contabilidade e seus balanços, ou estabelecida mediante confrontação de contagens sabidamente equivalentes, como no exercício abaixo onde uma equação permite calcular a idade com que o matemático Diofanto morreu, a partir da inscrição existente no seu túmulo.

“Sua infância durou um sexto da sua vida;

A senioridade veio um doze avos depois;

um sétimo além, contraiu núpcias;

seu filho nasceu cinco anos depois;

esse filho, que era fraco e doente, teve a metade da vida do pai;

e o pai, desgostoso, sobreviveu apenas mais quatro anos.”

O recado no túmulo sugere a seguinte equação:

x/6 + x/12 + x/7 + 5 + x/2 + 4 = x

Preparando a equação, temos:

9x = 756    
                                                                                             

x = 84 anos (idade procurada)

Equações falsas

Uma equação falsa surge quando arbitrariamente se iguala uma soma algébrica de contagens abstratas a zero. Resolvê-la é encontrar os pontos onde se anula, um exercício ocioso e sem perspectiva de êxito, observados apenas o caso da linha reta e o caso especial do trinômio do segundo grau, conforme discuto no Capítulo IX.

As raízes de um polinômio igualado a zero indicam pontos onde o polinômio se anula. Se a figura fizer 17 revoluteios em torno do eixo dos “x”, teremos 17 raízes cuja serventia é indicar 17 pontos de ordenada nula. Resolver uma equação falsa é descobrir esses pontos, um exercício despiciendo, com viés de insolúvel, com a ressalva do caso da linha reta e do curioso caso da equação do segundo grau, em que as raízes podem ser encontradas por meio da fórmula de Bhaskara.

Outro caso em que as raízes realmente existem ocorre quando se iguala a zero um produto de “n” retas. Esse produto, que é do grau “n”, se anula quando um dos fatores for nulo, o que significa que se trata de uma falsa equação com “n” raízes, que são as raízes das “n” retas. Nenhum interesse há em encontrá-las.

Seja, por exemplo, obter a (falsa) equação do terceiro grau que corresponde à multiplicação dos três binômios a seguir:

(y = x - 17), cuja raiz é 17;

(y = 2- x), cuja raiz é 2;

(Y = x + 1), cuja raiz é – 1.

Solução:

Produto: (x-17) (2- x) (x + 1) = x³ – 18x² + 15x + 34 (polinômio)

Falsa equação: x³ – 18x² + 15x + 34 = 0 (polinômio igualado a zero)

É evidente que a falsa equação acima tem como raízes 17; 2; e (-1), cada uma anulando um dos fatores da multiplicação que a originou. Resolver uma equação como essa é remar de trás para a frente, um exercício inútil, de enxugamento de gelo.

O exemplo mostrou uma equação falsa, cuidadosamente construída para ter três raízes. Imagine o leitor encontrar as raízes, se houver, de uma equação falsa construída aleatoriamente!

Equação do segundo grau

Veremos no Capítulo IX o caso da equação do segundo grau, que comporta uma excepcionalidade: pode ser considerada falsa ou verdadeira.

De fato, um trinômio do segundo grau igualado a zero dá origem a uma equação do segundo grau falsa, de contagens. Veremos que esta equação coincide com uma equação verdadeira, de números: ou seja, a mesma equação será falsa ou verdadeira, conforme seja o objetivo pretendido pelo operador matemático. É como na física quântica, onde a luz pode ser onda ou partícula, alternando-se de acordo com a experiência conduzida pelo observador.

Suas duas incógnitas (quando verdadeira) ou suas duas raízes (quando falsa) podem ser encontradas utilizando a fórmula de Bhaskara.

Equações lúdicas

Equações lúdicas são equações que envolvem números isoladamente considerados, e não contagens de módulos ou abstratas. Por exemplo, é lúdica a equação que resolve a seguinte questão: achar três números consecutivos cuja soma é 153.

Por que chamar de lúdicas essas equações? Porque a princípio o interesse nessas equações é apenas recreativo, sem aplicação na vida real. Qual a utilidade de encontrar números que não significam nada? De saber que os números solicitados são 50, 51 e 52?

Uma equação envolvendo números pode ser de qualquer grau, desde que resulte de uma igualdade imposta a duas somas algébricas. Entretanto, não é fácil construir igualdades verdadeiras de somas algébricas com incógnitas de grau superior a um. Se for possível construí-la, outro problema será resolvê-la.

Equações na ciência

A ciência trabalha com unidades, não com módulos, e de acordo com fórmulas impostas caso a caso. A famosa equação de Einstein, e = m.c², é um postulado científico, e não verdadeiramente uma equação, ou seja, não é um confronto de duas igualdades construídas para encontrar uma quantidade desconhecida.

Não me atrevo a dizer que a ciência não tem equações, mas tenho para mim que a Lei da 
Gravitação Universal, a Equação de Clapeyron, a Segunda Lei de Newton, a Lei de Coulomb, tanto quanto as Equações de Campo de Einstein, são imposições científicas, e não equações.

CAPÍTULO IX – A EQUAÇÂO QUE PODE SER FALSA OU VERDADEIRA

A Física Quântica nos ensina que a luz pode comportar-se como onda ou como partícula, dependendo da experiência que estiver sendo conduzida pelo observador.

Por exemplo, quando se faz incidir luz ultravioleta sobre uma chapa metálica, a luz, comportando-se como partícula, choca-se com os elétrons do metal e produz o efeito fotoelétrico. Isaac Newton decretou: a luz é partícula, pois só uma partícula desloca outra partícula, como uma bola de bilhar chocando-se contra outra.

Se, em vez disso, a luz incide sobre um anteparo com duas fendas próximas, a luz passa ao mesmo tempo pelas duas fendas. Foi por isso que Christiaan Huygens concluiu que a luz é uma onda, pois só uma onda poderia realizar essa façanha, a de passar ao mesmo tempo em dois lugares diferentes.

Quem estava com a razão?

Ambos, decidiu Einstein mais de duzentos anos depois, pois a luz a um só tempo é partícula e onda.

Ou seja, a natureza tem dois modelos, dos quais, percebendo um, fica o observador impedido de perceber o outro. Dois modelos e um só aspecto! Uma ordem explicada e uma ordem implicada!

Algo assim ocorre na matemática, com a equação do segundo grau, que pode ser falsa, de contagens, ou verdadeira, lúdica, conforme pretendo mostrar a seguir.

A falsa equação do segundo grau: sem enredo

Vimos que um polinômio igualado a zero dá origem a uma falsa equação envolvendo contagens. Um exemplo, sem dúvida, é o do trinômio do segundo grau, y = ax² + bx + c, correspondente a uma parábola, que, igualado a zero, dá origem a uma equação com duas raízes, que não são incógnitas, mas os pontos onde a parábola corta o eixo das abscissas. 

Trata-se de uma equação de contagens, o que significa que x² = x*.x, em que x* é multiplicador e x, a incógnita, com x* e x tendo o mesmo valor numérico. Esta é a única equação de contagens por mim conhecida que não é do primeiro grau, com a importante observação de que é uma falsa equação, destinada a localizar pontos.

A curva tem dois ramos simétricos que se iniciam no vértice “V”, de abcissa x = - b/2a, que, no caso da figura, é o ponto de mínima ordenada do trinômio. Um ponto qualquer, no ramo esquerdo da parábola, como o ponto “C” da figura, tem obviamente ordenada igual à do ponto que lhe é simétrico no ramo direito. 

Ver que as raízes, “x1” e “x2”, são igualmente pontos simétricos da parábola.

Igualado o trinômio a zero, temos uma equação falsa, cujas raízes, “x1” e “x2”, podem ser calculadas usando a fórmula de Bhaskara:

x1 e x2 = (-b ± √ (b² - 4ac)) /2a

Mas a fórmula de Bhaskara não se aplica apenas aos pontos em que y = 0. Aplica-se a todos os pontos da parábola! Para cada valor de “y” da parábola, como o do ponto “C”, podem ser calculados os dois correspondentes valores de “x” com auxílio da fórmula.

Dado um valor qualquer de “y” = y*, diferente de zero, a equação se altera, substituindo “c” por “ c´ ”, em que c’ = c – y*. Aplicando-se a fórmula de Bhaskara com “ c’ ” no lugar de “c”, obtêm-se os dois valores, “x1” e “x2”, correspondentes ao “y*” dado e ao seu simétrico.

Fórmula de Bhaskara para qualquer y = y*: 

x1 e x2 = (-b ± √ (b² - 4ac’)) /2a, em que c’ = c – y*.

Ou seja, a milenar fórmula de Bhaskara, que os matemáticos usam para extrair as raízes da equação do segundo grau, é na verdade a recíproca do trinômio, isto é, dado “x”, o trinômio calcula “y”; dado “y*”, Bhaskara calcula os dois valores correspondentes de “x1” e “x2”. A variável dependente passa a independente, e vice-versa!

Obviamente, quando y* = 0, “x1” e “x2”” tornam-se as raízes do trinômio.

Bhaskara não dá certo quando “y*” é menor que “yV”, pois nesse caso “y*” não pertence à parábola: Bhaskara desemboca nesse caso em uma raiz quadrada de um número negativo, o que não é possível na matemática.  Um valor de “y*” menor do que “yV” só existe imaginariamente.

Exercício

Calcular os dois valores de “x” da parábola definida pelo trinômio quadrado (y = x² - 5x + 6), correspondentes aos seguintes pontos:

y* = 0;

y* = 2;

y* = 10;

y* = - 3

Primeiro caso y* = 0

x² - 5x + 6 = 0

c´= c – 0 = 6

x1 e x2 = (5 ± √ (5² - 4x6)) / 2: 2 e 3

Trata-se das duas raízes do trinômios, ou seja, os dois pontos onde a parábola se anula.

Segundo caso y* =2

x² - 5x + 6 = 2

c´ = 6-2 = 4

x² - 5x + 4 = 0

x1 e x2 = (5 ± √ (5² - 4 x 4) / 2: 1 e 4

Trata-se de dois pontos simétricos da parábola.

Terceiro caso y*=10

x² - 5x + 6 = 10

c´= 6 – 10 = - 4

x² - 5x - 4 =0

x1 e x2 = (5 ± √ (5² + 4 x 4)) / 2: - 0,7 e 5,7

Trata-se de dois pontos simétricos da parábola.

Quarto caso y*= -3

x² - 5x + 6 = - 3

c´ = 6 – (- 3) = 9

x² - 5x + 9 = 0

x1 e x2 = (5 ± √ (5² - 4x9)) / 2 = (5 ± √ (-11)) / 2 (operação impossível).

É impossível extrair a raiz quadrada de um número negativo (-11), o que significa que y* = -3 
não é ordenada de nenhum ponto da parábola em questão.

De fato,

Trinômio: y = x² - 5x + 6

Derivada primeira do trinômio: y´ = 2x – 5

2 xmin - 5 = 0

xv = xmin = 2,5,

yv = (2,5² - 5 x 2,5 + 6) = - 0,25.

Portanto, nenhum ponto da parábola tem um y* menor que - 0,25. Ou seja, y* = - 3 não pertence à parábola.

A verdadeira equação do segundo grau: com enredo

Vejamos agora o que acontece quando procuramos resolver a seguinte proposição: calcular dois números cuja soma é 5 e cujo produto é 6.

Esse enunciado nos leva a multiplicar “x” por (5-x) e igualar o resultado a 6, ou seja, a construir uma equação lúdica:

(x). (5 -x) = 6 (dois membros obrigados a serem iguais)

ou

5x – x² = 6 (uma equação do segundo grau).

Preparando a equação acima para aplicar a fórmula de Bhaskara, temos:

x² – 5x + 6 = 0

Trata-se de uma equação lúdica, porque foi construída com números, e não com contagens, pois, com estas, (x) não poderia multiplicar (5 -x). É, além disso, uma equação verdadeira, pois corresponde a uma igualdade imposta. Não a um polinômio igualado a zero.

Coincide com a equação falsa do trinômio igualado a zero!

Uma só equação com duas funções matemáticas distintas: pois uma coisa é buscar, dos infinitos pontos de uma parábola, os dois pontos em que o trinômio se anula; outra, muito outra, é calcular dois números cuja soma é 5 e o produto é 6.

Claro que em ambos os casos os dois números procurados são 2 e 3, obtidos usando a fórmula de Bhaskara. São, a um só tempo, as duas incógnitas da equação e as duas raízes que anulam o trinômio, a indicar os dois pontos onde a parábola encontra o eixo das abscissas num gráfico cartesiano.

Como calcular as incógnitas (ou raízes), sem utilizar Bhaskara

Para resolver a equação do segundo grau sem utilizar Bhaskara, temos de usar um artifício: calcular “YV”, o mínimo “Y” da parábola, o que exige derivar o trinômio e obter “xmin”, o ponto do qual equidistam as duas raízes:

xmin = - b/2a

x1 = xmin – d

x2 = xmin + d

 Basta substituir x por (xmin + d) para obter diretamente o valor de “d”. O mesmo valor de “d” pode ser obtido, alternativamente, substituindo na equação x por (xmin – d).

Com os valores de “xmin” e de “d”, obtêm-se as raízes, “x1” e “x2”.

Exemplo:

Resolver a equação x² - 5x + 6 = 0

xmin = -b/2a = 2,5

Pode-se calcular “d” tanto com auxílio de “x1” quanto de “x2”.

A) - Escolhamos inicialmente substituir “x” por x2= 2,5 + d

 x2²- 5x2 + 6 = 0

x2 = 2,5 + d

(2,5 + d)² – 5 (2,5+ d) + 6  = 0

(2,5² + 5d + d²) – 12,5 - 5d + 6 = 0

6,25 + d² – 6,5 = 0

d² = 0,25

d = 0,5

Portanto:

x1 = 2,5 – d = 2

x2= 2,5 + d = 3

B) – Repitamos o desenvolvimento, mas substituindo “x” por x1= 2,5 - d

(2,5 – d)² - 5 (2, 5 - d) + 6 = 0

(2,5² - 5d + d²) – 12,5 + 5d + 6 = 0

6,25 + d² – 6,5 = 0

d²= 0,25

d = 0,5

Portanto:

x1= 2,5 – d = 2     

x2= 2,5 + d = 3

Um exercício interessante é examinar os desenvolvimentos em A e B acima e observar como a matemática ajusta suas parcelas para corresponder ao fato de que, em relação a xmin, o desvio de x2 e o desvio de x1 são iguais e simétricos (- d) e (+ d), respectivamente).

Em A:

(2,5² + 5d + d²) – 12,5 - 5d + 6 = 0,

ou 6,25 + d² – 6,5 = 0

Em B:

(2,5² - 5d + d²) – 12,5 + 5d + 6 = 0,

ou 6,25 + d² – 6,5 = 0

Dois caminhos e um só resultado: 6,25 + d² – 6,5 = 0.  

Poderosa matemática...