O canadense Monty Hall estreou na televisão americana, em 1963, o quadro “Let´s Make a Deal” (“Vamos fazer um negócio”), cujo produtor era o escritor Stefan Hatos. O programa, levado ao ar até agosto de 1986, ficou famoso por ter criado o “Problema de Monty Hall” ou “Paradoxo de Monty Hall”, uma brincadeira que se caracteriza por ter uma solução não intuitiva e muito curiosa.
O problema
O apresentador mostra três caixas fechadas, 1,2 e 3, com a informação de que uma delas contém um prêmio. Uma pessoa da plateia é solicitada a escolher uma das caixas; suponhamos que tenha escolhido a caixa 1. O apresentador abre uma das caixas não escolhidas, suponhamos a 3, mostrando que está vazia. Ou seja, o prêmio está necessariamente na caixa 1, a escolhida pelo candidato, ou na caixa 2.
A seguir o apresentador dirige-se assim ao candidato:
- Mostrei a você que a caixa 3 está vazia. Quer trocar a caixa 1, que você escolheu inicialmente, pela caixa 2?
O problema consiste em verificar se é indiferente para o candidato manter-se na escolha inicial (caixa 1) ou trocá-la pela caixa 2. Ver que ambas as caixas podem estar abrigando o prêmio.
Solução do problema
Não é indiferente, conforme pode parecer. Pois trocar de caixa dobra a chance de o candidato ganhar o prêmio.
- Quero trocar de caixa...Explicação
Quando fez sua escolha inicial, qualquer que fosse, a chance do candidato era de 1/3. A probabilidade contrária, de o prêmio estar em 2 ou 3, era de 2/3. O fato de o apresentador ter aberto uma das outras duas caixas, mostrando-a vazia:
(a) não altera a probabilidade de o prêmio estar na caixa inicialmente escolhida, que continua a ser de 1/3.
(b) não altera a probabilidade contrária à caixa 1, que continua a ser de 2/3. A qual deve agora ser atribuída totalmente à caixa 2, uma vez que se tornou nula a chance de estar o prêmio na caixa 3.
Logo, trocar de caixa dobra a probabilidade de alcançar o prêmio, que passa de 1/3 para 2/3. Repitamos que ambas as caixas podem estar abrigando o prêmio, mas a probabilidade de ser a caixa 2 é o dobro da probabilidade de ser a caixa 1.
Por via de consequência
Repetindo
a experiência 1.000 vezes, é de se esperar que o candidato que não
trocar de caixa ganhe o prêmio 333 vezes e o que trocar, 666 vezes.
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