PARADOXO DE FERMI

Onde estão eles?

Muitos creem que não somos os únicos atores inteligentes no Universo e defendem a existência de seres extraterrestres, em sistemas solares que tenham condições semelhantes ou até mais favoráveis do que as que propiciaram a vida inteligente na Terra. Pois o Universo visível possui cerca de 10 bilhões de trilhões de estrelas, com, provavelmente, muitos bilhões de sistemas planetários semelhantes ao nosso Sistema Solar.

- Então, onde eles estão?, perguntou na década de 1950 o físico italiano Enrico Fermi (1901 - 1954), prêmio Nobel de Física (1938) e responsável pela construção do primeiro reator atômico, desenvolvido na Universidade de Chicago.

Enrico Fermi

Essa pergunta configura o que ficou conhecido como o “Paradoxo de Fermi”. Subjacentemente à indagação, existe o raciocínio de que, passados 15 bilhões de anos desde o Big Bang, e com tantos sistemas planetários, deviam ter surgido civilizações extraterrestres mais velhas e mais novas, mais adiantadas e mais atrasadas, cuja existência fosse percebida de alguma forma pelos habitantes da Terra.

- Mas seus sinais não nos chegam, nem os de rádio, muito menos sondas ou espaçonaves, configurando-se um autêntico paradoxo - o paradoxo de Fermi.

Na Hungria

Leo Szilard

Consta que Fermi fez sua pergunta aos físicos que se encontravam no refeitório de Los Alamos, o Laboratório Nacional dos Estados Unidos, no Novo México, fundado durante a Segunda Guerra Mundial, que ao tempo de Fermi esteve engajado no esforço de desenvolvimento da primeira bomba atômica.
Corre a versão de que Leo Szilard, o húngaro brincalhão, teria respondido na hora:

- Eles já estão há algum tempo por aqui. Mas chamam a si próprios de húngaros.

A resposta de Szilard gerou uma lenda jocosa, corrente entre os físicos, segundo a qual há milhões de anos os marcianos deixaram seu planeta e pousaram onde hoje é a Hungria. Misturaram-se aos macacos que habitavam a Terra, adaptando-se a eles e assimilando suas feições, e são hoje caracterizados pela propensão para viajar (os húngaros espalham-se por todo o mundo), por sua língua, diferente de todas as demais, e inteligência (muitas das melhores mentes de Los Alamos eram húngaras.)



Possíveis Soluções Para o Paradoxo de Fermi

(1) Eles existem, mas ainda não se comunicaram conosco.

(2) Eles estão por aí, mas não querem contato conosco.

(3) Eles não existem.


Carl Sagan

Sagan

- Às vezes acredito que há vida em outros planetas, às vezes acredito que não. O que é mais assustador, a idéia de extraterrestres em mundos estranhos, ou a idéia de que, em todo este imenso Universo, nós estamos sozinhos?

- Seja como for, se nós estamos sozinhos, o Universo é um grande desperdício de espaço.

TRÊS PARADOXOS NA CIÊNCIA

Paradoxo de Fermi

O Universo conta com dez milhões de trilhões de estrelas e, provavelmente, muitos bilhões de sistemas planetários. Desde Giordano Bruno (1548-16000), muitos acreditam que esse Universo incomensurável contém milhares de sistemas solares, integrados por muitos planetas abrigando vida inteligente. Habitantes de outros planetas também teriam o privilégio de contemplar as maravilhas do Universo.

- Então, onde eles estão?

Muitos bilhões de planetas

Essa pergunta, conhecida nos meios acadêmicos como "paradoxo de Fermi", foi feita na década de 1950 pelo físico italiano Enrico Fermi (1901-1954), prêmio Nobel de Física (1938) e responsável pela construção do primeiro reator atômico, desenvolvido na Universidade de Chicago. De fato, passados 15 bilhões de anos desde o Big Bang, e com tantos sistemas planetários, deviam ter surgido civilizações extraterrestres mais velhas e mais novas, mais adiantadas e mais atrasadas, cuja existência fosse percebida de alguma forma pelos habitantes da Terra.
Mas seus sinais não nos chegam, configurando o paradoxo.
Fermi fez a pergunta aos físicos que se encontravam no refeitório do laboratório de Los Alamos, no Novo México. Corre a versão de que Leo Szilard, cientista húngaro brincalhão, teria respondido:

- Eles já estão há algum tempo perturbando por aqui. Mas chamam a si próprios de húngaros.

Paradoxo das Noites Escuras

Uma estrela em cada visada

Antes das modernas idéias cosmológicas, que estão a prevalecer com a concepção do Big Bang, admitia-se que o Universo era:

infinito em extensão,
estático (sem grandes movimentos, em larga escala),
homogêneo e isotrópico (com as mesmas propriedades em todos os pontos e direções),
imutável e euclidiano (espaço plano, não encurvado pela gravidade).

O alemão Heinrich Olbers (1758-1840) fez uma observação em 1826 que ficou conhecida como "Paradoxo de Olbers" ou "Paradoxo das Noites Escuras":

- Se o Universo tivesse de fato essas propriedades, não haveria noites escuras, pois as infinitas estrelas, distribuídas uniformemente, deveriam cobrir a Terra de luz. Pois todas as visadas acabariam numa estrela, ou seja, num ponto de luz.

Diz-se que essa questão fora anteriormente levantada por Johannes Kepler, em 1610, e um pouco mais tarde por Edmond Halley e Jean-Philippe de Cheseaux.

Edgar Allan Poe

Muitos tentaram explicar o paradoxo, alguns mediante demonstrações matemáticas. Para o escritor Edgar Allan Poe, a explicação era a idade finita do Universo infinito: por falta de tempo, ainda não chegou a nós a luz das estrelas mais distantes. A teoria do Big Bang tem uma explicação semelhante à de Edgar Allan Poe: o tempo é realmente finito, pois o Universo teve um começo, criado que foi há alguns bilhões de anos; de fato, a luz das estrelas situadas para além de determinada distância não teve tempo de nos alcançar, o que explica a quantidade limitada de luz no céu noturno. A diferença, em relação à hipótese de Poe, é que na teoria do Big Bang o Universo não é infinito, não é estático (pois está em permanente expansão), nem euclidiano (pois o espaço é curvado pela gravidade, conforme a teoria da relatividade) e está longe de ser imutável.

- Seja como for, não há lugar para o paradoxo de Olbers.

Paradoxo hidrostático

Um sistema de vasos comunicantes é um conjunto de vasos interligados de tal modo que um líquido que se derrame num deles se distribui por todos os demais. Pode-se pensar que, nesse dispositivo, o líquido contido num vaso de maior diâmetro, por conter uma porção maior de líquido, force, por seu peso, a ascensão do líquido no vaso de menor diâmetro a uma altura maior; ou que o líquido ascenda mais, ou menos, de acordo com sua forma ou inclinação. Isso entretanto não acontece, eis o que se chama de paradoxo hidrostático, pois o líquido alcança o mesmo nível em todos os vasos.

Mesma pressão, mesmo nível

- Por quê?

- Muito simples. Como o líquido está em equilíbrio, a pressão é a mesma na base de todos os vasos. Tratando-se do mesmo líquido em todos os ramos, pressões iguais determinam alturas iguais, independentemente dos diâmetros, formas e inclinações dos vasos, exigindo-se apenas que sejam comunicantes.

AS APARÊNCIAS ENGANAM

Paradoxo do aniversário

O campeonato brasileiro de futebol tem 380 jogos. Suponhamos que alguém afirme que 192 dessas partidas anuais devem iniciar-se tendo no gramado duas pessoas com mesma data de aniversário.

- Mais que a metade dos jogos?

- Sim. Embora pareça falsa, esta afirmativa é verdadeira.

Considerando, em cada partida, 22 jogadores e um árbitro, a chance de pelo menos duas pessoas atuando dentro de um campo de futebol terem a mesma data de aniversário é ligeiramente superior a 50%. Por quê? Uma primeira pessoa, dos 23 participantes, confronta seu aniversário com outras 22 pessoas; excluída essa primeira pessoa, a segunda pessoa confronta o seu com 21 pessoas; a terceira pessoa, excluídas as duas primeiras, faz o confronto com 20 pessoas; e assim por diante.
São 253 confrontos!
Por isso, embora seja inferior a 0,3 % a probabilidade de duas pessoas escolhidas ao acaso terem a mesma data de aniversário, com 253 confrontos a probabilidade agregada sobe para 50,7 %. Disso decorre que, em média, espera-se uma coincidência de aniversariantes a cada duas partidas; em 380 partidas, pouco mais de 190 coincidências.

Paradoxo de Galileu

Raciocínio falso: em sua maioria os números inteiros não são quadrados; portanto, há mais números inteiros que quadrados de números inteiros.

Raciocínio correto: não pode haver mais inteiros que quadrados de números inteiros, pois cada inteiro tem o seu quadrado.

Paradoxo do besouro

- Estou precisando estudar mais aerodinâmica...

Pela relação entre peso, tamanho das asas e comprimento do corpo, o besouro não poderia voar - eis uma afirmação que se ouve frequentemente, com a falsa argumentação de que a mesma se baseia nas leis da Física.

- Como falsa?

- Falsa, sim, porque a Física da Aerodinâmica já desenvolveu modelos matemáticos capazes de explicar com precisão não somente o voo do besouro, como o de todos os insetos.

Paradoxo de Giffen

Bem de Giffen

Na Irlanda quando uma praga devastou as plantações de batatas, houve um importante aumento no preço das batatas. Esse fato fez a população pobre comprar uma quantidade de batatas maior do que no caso normal, contrariando o senso comum.

- Como pôde isso acontecer, se, pela lei da procura, a quantidade adquirida sempre cai, se o preço sobe?

- A diminuição do poder de compra levou os pobres a prescindirem do consumo de carne, pois as quantidades desta ao alcance do dinheiro que lhes sobrou reduziram-se drasticamente. Não lhes ficou alternativa senão completar sua dieta com gastar os parcos recursos na aquisição de quantidades adicionais de batatas.

Outros “bens de Giffen” têm sido recentemente descobertos, como o arroz, em certas regiões do sul da China. Se por algum motivo subir o preço, os chineses pobres compram mais arroz.

Bem de Veblen

Um tipo diverso de paradoxo ligado à violação da lei da procura, por motivos inteiramente diferentes, é a preferência por certos bens dispendiosos, de consumo ostentatório, como obras de arte, vinhos, perfumes, joias, tapeçarias e automóveis de luxo, os chamados bens de Veblen. Maior preço, maior procura. Observa-se também ser maior a frequência às boates mais caras, também por motivo ostentatório.

- O preço aqui é ótimo!

MENTIRA E MATEMÁTICA

O Paradoxo do Mentiroso

No século VI a. C., o filósofo Epimênides fez a seguinte afirmação: "Os cretenses são mentirosos", conforme está no Novo Testamento, Epístola a Tito, 1: 12.

Sendo o próprio Epimênides um cretense, a afirmação leva a um paradoxo, tanto quando se admite que seja verdadeira como quando se admite que seja falsa. Pois Epimênides, se mentiroso, estaria dizendo uma verdade; e, se não mentiroso, estaria afirmando uma mentira.

A declaração de Epimênides constitui o chamado Paradoxo de Creta ou Paradoxo do Mentiroso.
Uma variação do Paradoxo do Mentiroso é atribuída a Eubúlides de Mileto, que viveu no século IV a. C. e era rival de Aristóteles:

- Um homem diz que está a mentir; o que ele diz é verdade ou mentira?

Qualquer escolha de resposta para esta pergunta, entre "verdade" e "mentira", configura igualmente um paradoxo: uma verdade, que é mentira, ou uma mentira, que é verdade.


Há variações interessantes do Paradoxo do Mentiroso. Certa vez Winston Churchill dirigiu a um desafeto a seguinte pergunta:

- Você já parou de roubar?

O adversário deve ter preferido revidar com alguma agressão, a responder com um "sim" ou com um "não" a essa pergunta maliciosa.

Groucho Marx, célebre humorista americano, declarou certa vez:

- Não me filiaria a nenhum clube que tivesse a insensatez de aceitar-me como sócio.

É de se supor que Groucho não pertenceu a clube nenhum.

Proposições indecidíveis

Em 1931 o matemático checo Kurt Gödel abalou os alicerces da Matemática, ao provar que há verdades matemáticas que não podem ser demonstradas, sendo este um dos teoremas da indecidibilidade matemática. Sua prova teve como ponto de partida o Paradoxo do Mentiroso.

Einstein e Kurt Gödel

- Einstein...

- Sim, Kurt.

- Há muita verdade matemática que ninguém poderá provar.

- Dê um exemplo.

- Talvez seja o caso da Conjectura de Goldbach, pela qual todo número par maior que 2 pode ser igualado pela soma de dois números primos.

- Exemplifique para 16; 72; 100 e 220.

- Muitas vezes há mais de uma solução; mostrarei apenas uma para cada um desses números:

16 = 11+5
72= 59+13
100=71+29
220=131+89

- Já se encontrou alguma exceção?

- Não. Há informações de que foram testados por computador todos os números pares até 400 trilhões. Mas ninguém conseguiu fazer uma demonstração de que uma exceção seja impossível, e isso aponta na direção do que eu provei: há verdades matemáticas que não podem ser demonstradas.

Christian Goldbach (1690 - 1764)

- Provou graças ao Paradoxo de Mentiroso?

- Graças ao Paradoxo do Mentiroso.

ENFORCAR O PRISIONEIRO E PASSAR FÉRIAS EM ABILENE

Paradoxo do enforcamento inesperado

Conta-se que um homem foi condenado à morte, por enforcamento. O juiz, exigente e rigoroso, estabeleceu na sentença que o enforcamento deveria ser executado exatamente ao meio-dia de um dos dias úteis da semana seguinte (qualquer dia, de segunda-feira a sexta-feira), com a condição de que o condenado só soubesse o dia da execução na manhã do enforcamento.

- Surpresa quanto ao dia do enforcamento é parte da sentença.

- Entendo, disse o carasco: na semana que vem, às 12 horas de um dia útil e de surpresa.

- Nenhuma dessas condições pode ser violada.

O condenado, que era muito inteligente, deu-se conta de que a sentença não poderia ser cumprida e pediu ao carrasco que viesse à sua cela.

- Como assim?, perguntou-lhe o carrasco.

- Não posso ser executado na sexta-feira, pois, se isso ocorrer, saberei que esse será o dia da execução desde a tarde de quinta-feira, contrariando a sentença do juiz. Pois, se não for executado até o meio-dia de quinta-feira, o enforcamento só pode se dar na sexta-feira, sem a surpresa matinal requerida na sentença.

- Entendo. Na sexta-feira, estaríamos descumprindo a sentença. E nos demais dias?

- Da mesma forma, não posso ser enforcado na quinta-feira. Pois, nesse caso, saberei o dia da execução desde a tarde de quarta-feira, pois restarão somente a quinta-feira e a sexta-feira. Já excluímos a sexta-feira, pelo que a execução só poderia ser na quinta-feira. Mas isso saberei desde quarta-feira, contrariando a sentença do juiz.

- Certo, certo.

- Com igual raciocínio, veríamos que não posso ser executado na quarta-feira, pois isso saberei desde a tarde de terça-feira, quando na semana restarão somente a quarta, a quinta e a sexta-feira. Mas quinta e sexta-feira estando já excluídas, conforme vimos, restará apenas a quarta-feira e estarei sabedor disso desde a terça-feira, no total descumprimento da sentença.

- Com esse raciocínio, vamos concluir que o senhor também não poderá ser enforcado na terça-feira.

- Exatamente. Restaria a segunda-feira para o enforcamento, o que estou sabendo desde já. Onde a surpresa?

- É... Como posso resolver esse problema?

- A única solução é não haver nenhum enforcamento.

Levada a questão ao juiz, este cancelou o enforcamento como preito à inteligência do prisioneiro.

Paradoxo de Abilene

Chama-se de paradoxo de Abilene à decisão tomada de forma adversa à preferência dos que estão decidindo. Ocorre quando alguém faz uma proposta por imaginar que esteja de acordo com a vontade dos outros integrantes do grupo, embora seja pessoalmente contrário à mesma. A sugestão é aceita porque cada membro do grupo, embora também pessoalmente contrário, entende que a mesma corresponde à vontade dos demais.Todos se sacrificam pelo bem dos demais, inútil e contraproducentemente. Foi assim que uma família do Texas decidiu passar suas férias em Abilene, para aborrecimento de todos.

- Que estamos fazendo aqui em Abilene?

O paradoxo pode ocorrer nas decisões familiares, empresariais ou governamentais, sendo certo que suas causas principais são a falta de diálogo e a tendência de decidir com insuficiência de informações.

A bomba atômica

Quem sabe a decisão de fazer a bomba atômica não tenha sido um paradoxo de Abilene? O cientista Leo Szilard era contra, mas redigiu a carta que convenceu Roosevelt a fazê-la; Einstein era contra, mas assinou essa carta; Roosevelt era contra, mas, influenciado pela carta, determinou a construção da bomba; Enrico Fermi era contra, mas viabilizou a bomba, desenvolvendo o reator atômico; etc.

No final, embora todos fossem contra, a bomba atômica foi construída e lançada sobre Hiroshima e Nagasáki.

VOCÊ TROCARIA DE CAIXA?

Paradoxo de Monty Hall


O canadense Monty Hall estreou na televisão americana, em 1963, o quadro “Let´s Make a Deal” (“Vamos fazer um negócio”), cujo produtor era o escritor Stefan Hatos. O programa, levado ao ar até agosto de 1986, ficou famoso por ter criado o “Problema de Monty Hall” ou “Paradoxo de Monty Hall”, uma brincadeira que se caracteriza por ter uma solução não intuitiva e muito curiosa.

O problema


O apresentador mostra três caixas fechadas, 1,2 e 3, com a informação de que uma delas contém um prêmio. Uma pessoa da platéia é solicitada a escolher uma das caixas; suponhamos que tenha escolhido a caixa 1. O apresentador abre uma das caixas não escolhidas, suponhamos a 3, mostrando que está vazia. Ou seja, o prêmio está necessariamente na caixa 1, a escolhida pelo candidato, ou na caixa 2.
A seguir o apresentador dirige-se assim ao candidato:

- Mostrei a você que a caixa 3 está vazia. Quer trocar a caixa 1, que você escolheu inicialmente, pela caixa 2?

O problema consiste em verificar se é indiferente para o candidato manter-se na escolha inicial (caixa 1) ou trocá-la pela caixa 2. Ver que ambas as caixas podem estar abrigando o prêmio.
Solução do problema

Não é indiferente, conforme pode parecer. Pois trocar de caixa dobra a chance de o candidato ganhar o prêmio.

- Quero trocar de caixa...

Explicação

Quando fez sua escolha inicial, qualquer que fosse, a chance do candidato era de 1/3. A probabilidade contrária, de o prêmio estar em 2 ou 3, era de 2/3. O fato de o apresentador ter aberto uma das outras duas caixas, mostrando-a vazia:

(a) não altera a probabilidade de o prêmio estar na caixa inicialmente escolhida, que continua a ser de 1/3.

(b) não altera a probabilidade contrária à caixa 1, que continua a ser de 2/3. A qual deve agora ser atribuída totalmente à caixa 2, uma vez que se tornou nula a chance de estar o prêmio na caixa 3.

Logo, trocar de caixa dobra a probabilidade de alcançar o prêmio, que passa de 1/3 para 2/3. Repitamos que ambas as caixas podem estar abrigando o prêmio, mas a probabilidade de ser a caixa 2 é o dobro da probabilidade de ser a caixa 1.

Por via de consequência

Repetindo a brincadeira 1.000 vezes, é de se esperar que o candidato que não trocar de caixa ganhe o prêmio 333 vezes e o que trocar, 666 vezes.