sexta-feira, 22 de junho de 2018

PROCURA-SE UMA PERDIDA DEMONSTRAÇÃO


     PIERRE DE FERMAT  

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               O francês Pierre de Fermat (1601-1665) era um juiz de direito que não queria passar pelo constrangimento de ter de julgar causas de eventuais amigos. E, para não ter amigos, vivia isolado. Gênio retraído, falava fluentemente francês, italiano, espanhol, latim e grego, era crítico de literatura.e dedicava seu lazer à matemática, formulando ou decifrando quebra-cabeças, com eficiência tão grande que E. T. Bell chamou-o muito adequadamente de "o príncipe dos amadores".    
Divertia-se discutindo por correspondência com outros matemáticos, entre os quais Beaugrand, Carcavi, Brulart de Saint Martin, Mersenne, Roberval, Pascal, Huyghens, Descartes, Frénicle, Gassendi, Laloubère, Torricelli, Digby e Wallis. Provocava-os com problemas difíceis, cuja solução dizia possuir.

Fermat não gostava de falar de si próprio, nem se interessava em publicar seus estudos, tendo certa vez dito para Blaise Pascal:


            - Eu não quero meu nome associado a nenhum dos meus trabalhos.



No final de sua vida, Fermat chegou à conclusão de que teria sido mais útil à humanidade se tivesse escolhido a matemática por profissão, e, antes de morrer, declarou:


                - Valha-me Deus, pois não fui ninguém.


            Não obstante esse juízo autodepreciativo, Fermat está incluído na categoria dos grandes cientistas: estabeleceu os fundamentos da geometria analítica, quase ao mesmo tempo que Descartes, construiu, em estreita colaboração com Blaise Pascal, as bases do cálculo das probabilidades, desenvolveu um método para cálculo de máximos, mínimos e tangentes de linhas curvas, resolveu inúmeros problemas de cálculo numérico e deu importante contribuição à física, seja estudando a trajetória dos corpos em queda livre ou estabelecendo os princípios da ótica geométrica. Isaac Newton, que algumas décadas mais tarde iria estabelecer os fundamentos do cálculo infinitesimal, afirmou, em nota encontrada por Louis Trenchard Moore em 1934, que baseou seus estudos de cálculo infinitesimal no “método do senhor Fermat para resolver os problemas das tangentes.”
            Fermat feriu susceptibilidades e angariou inimigos poderosos. Um deles, René Descartes, para quem o trabalho de Fermat sobre máximos, mínimos e tangentes empanava o brilho da sua “Geometria Analítica”, que apresentara como exemplo da utilidade do “Discurso sobre o Método”. Como se isso não bastasse, Fermat viu erros em trabalhos de Descartes sobre a lei da refração da luz. A reação de Descartes foi investir contra o método de Fermat para obter máximos, mínimos e tangentes e contra seus estudos sobre a cicloide, além de tachá-lo de “fanfarrão”. Os matemáticos importantes ficaram divididos entre Descartes e Fermat, com tendência favorável ao primeiro, que era uma celebridade nos campos da ciência e da filosofia, enquanto Fermat não passava de outsider e diletante.
            Fermat estudou teoria dos números na versão latina do livro de Diofante, rabiscando em suas margens observações que iriam dar novo impulso à matemática. Muitas dessas notas só se tornaram conhecidas após sua morte, publicadas por seu filho Clément-Samuel, em 1670, numa compilação que recebeu o título de “Varia Opera Mathematica”. Uma dessas observações passou a ser chamada de “último teorema de Fermat”. Trata-se de um enunciado que, expresso em termos familiares, estabelece que você pode encontrar números quadrados que sejam a soma de dois quadrados, e contente-se com isso, pois nunca encontrará um cubo que seja a soma de dois cubos, um número à quarta potência que seja a soma de dois números cada um dos quais elevado à quarta potência, e assim por diante.



                - Em outras palavras, a igualdade xn + yn = zn  não é possível para n maior que 2.



Para n=1, a igualdade se reduz a uma soma de números inteiros. Para n=2, configurando o caso de uma soma de dois quadrados igual a um terceiro quadrado, a possibilidade existe, até como consequência do teorema de Pitágoras, conhecido desde a Antiguidade, pelo qual, num triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. Fiquemos por aí, diz o teorema de Fermat, pois a igualdade nunca se verifica para n maior que 2. Foi nas margens de um exemplar do Livro II da "Aritmética", de Diofante, que Fermat escreveu:



            - Eu tenho uma esplêndida demonstração para essa proposição, que infelizmente não cabe nesta margem reduzida.
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            Nunca se encontrou essa demonstração. Todo teorema tem a sua demonstração, e enquanto esta não for obtida, a proposição envolvida não passa de uma conjectura. Como classificá-la, porém, em caso de demonstração existente, mas desconhecida, como a do último teorema? Reproduzir a perdida demonstração de Fermat, validando a impossibilidade por ele suscitada, passou a ser uma obsessão dos matemáticos, muitos dos quais interessados nos prêmios honoríficos, além de 3.000 francos que no Século XIX a Academia Francesa de Ciências oferecia a quem apresentasse a sua demonstração.           
Entre aqueles que tentaram demonstrar o teorema, estão matemáticos ilustres, como Euler, Legendre, Dirichlet, Christian Goldbach, Sophie Germain, Gabriel Lamé, Augustin Cauchy, Ernst Kummer e o jovem Evariste Galois, que morreu num duelo, em 1832, segundo se diz após passar a noite trabalhando para reproduzir a perdida demonstração. O alemão Carl Friedrich Gauss, considerado por muitos o maior de todos os matemáticos, dizia não ter interesse no problema, mas suspeita-se de que também procurou resolvê-lo.

A história do último teorema de Fermat assumiu caráter de romance, quando o milionário alemão Paul Wolfskehl decidiu suicidar-se por causa de um amor não correspondido. Meticuloso e organizado, Wolfskehl programou dia e hora para o suicídio, pois não queria deixar nenhuma pendência atrás de si. Consta que, chegado o dia do suicídio e tendo concluído todas as questões e acertado suas contas muito antes da hora planejada, o milionário dirigiu-se à biblioteca da sua mansão e pôs-se ociosamente a consultar alguns livros, de maneira aleatória e desinteressada, com a intenção de manter-se ocupado até a chegada do funesto desenlace. Wolfskehel, que estudara matemática na universidade e até gostava de discutir teoria dos números com matemáticos profissionais, deparou naquele momento crucial com um estudo de Ernst Kummer sobre o teorema de Fermat. E nele percebeu um erro de lógica, que decidiu emendar, e, ao fazê-lo, esqueceu-se completamente do compromisso que agendara com a morte. Horas depois, o suicídio já não lhe interessava, pois o desafio de demonstrar Fermat se tornara sua nova paixão e era razão suficiente para mantê-lo com vida. Quando faleceu, em 1908, Wolfskehl deixou reservado no seu testamento um prêmio em dinheiro, equivalente a cerca de um milhão de dólares, a quem demonstrasse que o último teorema de Fermat era verdadeiro. Não seria concedido nenhum prêmio para quem demonstrasse que o teorema era falso, se este fosse o caso.

Antes buscada por matemáticos profissionais, a demonstração passou a interessar a pessoas de atividades e qualificações variadas, não só por causa do prêmio, tanto mais pela divulgação extensiva do problema, mas, sobretudo, pela simplicidade do enunciado, que colocava a questão ao alcance do homem comum. O último teorema tornou-se um tema corriqueiro, quase uma epidemia, com uma avalanche de demonstrações equivocadas chegando todos os anos ao Comitê Wolfskehl, especialmente constituído sob custódia da "Königliche Gesellchaft der Wissenchaften" (Real Sociedade para as Ciências, situada em Göttingen) para examinar os trabalhos e outorgar ao vencedor o prêmio milionário.



- Não obstante tanto interesse e participação, o teorema de Fermat prosseguiu, varando décadas, sem ser demonstrado.



A demonstração parecia cada vez mais distante, mas um caminho se descortinou quando dois matemáticos japoneses, Yutaka Taniyama e Goro Shimura, que atuavam fora do circuito oficial da matemática, apresentaram no simpósio internacional de Tóquio, em 1955, a conjectura de que a cada forma modular corresponde uma equação elíptica.




Exemplo de forma modular
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Formas modulares e equações elípticas são entidades complicadas para os mortais comuns, mas muito conhecidas dos matemáticos profissionais; em termos coloquiais, basta mencionar que a forma modular é uma construção cheia de simetria que os matemáticos conseguem enxergar a partir do espaço quadridimensional, enquanto as equações elípticas fazem a igualdade do quadrado de uma variável dependente com um polinômio do terceiro grau da variável independente. Como formas modulares e equações elípticas não pareciam relacionar-se, os matemáticos receberam essa conjectura com muita estranheza e cepticismo. Aos poucos, no entanto, os mais perspicazes começaram a ver na "conjectura japonesa" um instrumento capaz de solucionar muitos problemas matemáticos não resolvidos. Na década de 1980, o alemão Gerhard Frey e o americano Ken Ribet, trabalhando independentemente, provaram que a demonstração da conjectura de Taniyama-Shimura implicaria automaticamente a demonstração do último teorema de Fermat.



                - Conjectura japonesa provada significa último teorema de Fermat verdadeiro, ora viva!



            A façanha de provar a conjectura Taniyama-Shimura coube ao matemático inglês Andrew Wiles, professor da Universidade de Princeton, que estudou o problema secretamente durante vários anos; em 1993 Wiles anunciou que havia logrado obter a demonstração da conjectura Taniyana-Shimura, mas, ao apresentá-la, constatou-se uma falha numa das equações do seu desenvolvimento matemático. Wiles teve de voltar às suas equações por mais 14 meses, após o que o trabalho final foi publicado, totalmente corrigido, nos Annals of Mathematics, de maio de 1995, ganhando as páginas dos jornais de todo o mundo. Estava demonstrado o último teorema de Fermat!



- Andrew Wiles embolsou o Prêmio Wolfskehl, que, após a hiperinflação alemã, reduzira-se a cerca de 70 mil dólares.



            Não é impossível que Fermat tenha se enganado quanto à validade da demonstração que declarou possuir, e, se isso aconteceu, foi apenas o primeiro a se enganar sobre seu último teorema, como os milhares que se candidataram aos prêmios ou nem sequer tiveram fôlego bastante para chegar a fazê-lo; se de fato engano, um engano que teve numerosas e importantes consequências. Pois a busca pela demonstração implicou o desenvolvimento de muitas teorias matemáticas.
            E se Fermat não se enganou? Nesse caso a procura pela demonstração estará ainda em aberto, pois é impossível que seja igual à de Andrew Wiles, que incorporou inúmeras técnicas matemáticas que Fermat não conhecia, muitas delas desenvolvidas, ao longo de 356 anos, exatamente nos trabalhos que visaram a encontrá-la.



- Ou seja, temos a premiada demonstração de Wiles e a outra, tachemo-la de virtual, que, menor e mais simples e criativa, continuará a ser buscada no mundo inteiro por matemáticos e diletantes.












domingo, 10 de junho de 2018

O CRIADOR DA GEOMETRIA ANALÍTICA




 RENÉ DESCARTES

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René Descartes (1596-1650) foi o criador da geometria analítica, uma elegante combinação de álgebra com geometria, e foi um dos pioneiros da ótica, da hidrostática e da mecânica. Teve ainda destacada atuação na filosofia, publicando obras importantes, como “Meditações” e “Princípios da Filosofia”, ambas redigidas em Latim, além do “Discurso do Método” (“Discours de la Méthode”), sugerindo um procedimento que foi decisivo na evolução da ciência. Desenvolveu o “ceticismo metodológico”, que se baseia no princípio de que devemos duvidar de todos os conhecimentos para os quais não há explicações evidentes. Para ele, o conhecimento requer a realização de quatro tarefas: verificar, analisar, sintetizar e enumerar.

            “Não me cabe, de fato, aceitar como verdadeira nenhuma coisa que eu não conheça evidentemente como tal; devo dividir cada uma das dificuldades em tantas partes quanto possível e necessário para resolvê-las; hei de conduzir os meus pensamentos de forma organizada, começando pelos objetos mais simples, segundo uma ordem de precedência de uns em relação aos outros; ao final, encerrarei cada estudo ou pesquisa com enumerações completas e revisões gerais, para ter certeza de que nada foi omitido. Enfim, como máxima fundamental, hei de procurar sempre vencer antes a mim do que à fortuna, modificar os meus desejos antes que a ordem do mundo.”

            O cientista morou na Holanda entre 1629 e 1649, ao abrigo das perseguições religiosas, guiando-se pelo lema de Ovídio: “viveu melhor quem viveu escondido” (“bene qui latuit, bene vixit”). Nunca expunha claramente que apoiava o sistema heliocêntrico, de Copérnico, temeroso de sofrer castigo semelhante ao que fora aplicado a Galileu pelo Tribunal da Inquisição. Em carta dirigida ao matemático Marin Mersenne, confessou que não gostaria por nada nesse mundo de “sustentar minhas ideias contra a autoridade da Igreja, pois não sou assim tão apaixonado pelos meus pensamentos.” Quando lhe perguntavam se a Terra se movia ou não, respondia, de maneira ambígua:


                - A Terra decerto não se move, mas é movida.

            Não foi molestado pela Inquisição e morreu de pneumonia, quando tinha cinquenta e quatro anos. Contratado para dar aulas para a rainha Cristina, da Suécia, que tinha o hábito de ouvir suas lições às cinco horas da manhã, acabou sucumbindo às baixas temperaturas das madrugadas de Estocolmo.