sexta-feira, 19 de março de 2021

DISCUTINDO OS FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA



MATEMÁTICA, UMA VISÃO ALTERNATIVA  


Pesquisa feita entre 2018 e 2020.

Texto elaborado em 2020 e aqui publicado em 19 de março de 2021. 

Autor: Remo Mannarino


                                    INTRODUÇÃO                                                                                                                                                                               

Pode-se fazer matemática com números considerados neutros, sem nenhum sinal, descartando, pois,  a existência de números “positivos”, “negativos” e “imaginários”? Para responder à questão, que sempre me intrigou, decidi revisitar os conceitos de número, de multiplicação, de equação e de polinômio. A estratégia utilizada nessa empreitada foi a de tentar formular uma definição para cada termo ou expressão envolvidos nas operações matemáticas, como, por exemplo, “número”, “número positivo”, “número negativo”, “expressões numéricas”, “contagens”, “somas algébricas”, “multiplicação”, "equações" e "polinômios".

Ao tentar definir “números negativos”, o que afinal não consegui, acabei por concluir que as operações matemáticas devem ser feitas com expressões numéricas de contagens, não com números considerados isoladamente. Os números são neutros, e servem como indicadores de quantidade, as contagens é que podem ser positivas e negativas. "Números negativos" não passam de uma metáfora para contagens negativas; "números positivos", igualmente, uma metáfora para contagens positivas; quanto aos "números imaginários", simplesmente  não existem, sequer metaforicamente.

Assumi, a seguir, a tarefa de explicar por que “menos por menos dá mais”, o que me levou ao entendimento de que o multiplicador de contagens nunca pode ser negativo, o que é, sei agora, fundamental na matemática.

Ao fim e ao cabo, em resumo, o exercício me  rendeu as seguintes percepções, que pretendo desenvolver no decorrer deste texto:

(1) As operações matemáticas nas equações e nos polinômios devem ser feitas com números e unidades, ou seja, com expressões numéricas de contagens, não com números isoladamente considerados. 

(2) As contagens têm sinais, não exatamente os números, ou seja, não existem de fato números “positivos”, “negativos” ou “imaginários”. 

(3) Há multiplicações que não podemos fazer, de modo que  equações que importam são todas do primeiro grau e polinômios que importam, exclusivamente do primeiro, do segundo ou do terceiro graus. 

(4) Os multiplicadores de contagens não podem ser negativos.  

(5) “Números negativos”, ou seja, contagens negativas,  não têm quadrado, como, de resto,  não podem ser elevados a nenhuma potência. 

(6) As imagens presidem e orientam as decisões sobre os sinais resultantes nas operações de subtração e de multiplicação de contagens. Na multiplicação,  “menos por menos dá mais” porque o produto resultante é a imagem de uma imagem! 

(7) O “x” que consta de uma equação pouco tem a ver com o “x” de um polinômio. As equações pertencem à aritmética, sendo as que importam um domínio de contagens de módulos, e os polinômios, à geometria, sendo os que importam um domínio de contagens de passos.[

Um polinômio igualado a zero dá lugar a uma falsa equação.   

(8) Equações ou polinômios construídos com números isolados são apenas lúdicos, pois sem nenhuma consequência prática.

(9) O parentesco da parábola com a chamada equação do segundo grau é apenas aparente.

(10) A equação do segundo grau é, na verdade, uma equação lúdica do primeiro grau com duas versões, nas quais duas incógnitas se revezam, com sua soma e seu produto participando das duas versões.

                                        Observação

O presente artigo substitui entendimentos discrepantes ou contrários (àqueles a seguir apresentados) que porventura existam nos dois livros de minha autoria e no artigo que publiquei, em julho de 2020, no GSJ Global Scientific Journals, todos relacionados nas Referências, ao final do texto.

           TERMINOLOGIA ADOTADA 

As explicações deste texto assumem arbitrariamente os seguintes termos e expressões:

1 - "módulo", para designar um elemento ou membro de um conjunto.

2 - "passo", para designar uma unidade de distância adotada para fazer um estudo geométrico.

3 - "contagem", para designar o resultado de uma aferição ou de uma verificação de ordem ou posicionamento. Há quatro tipos de contagens:

- "contagens de módulos", que servem às equações do primeiro grau;

 - "contagens de passos", que servem aos polinômios do primeiro, do segundo e do terceiro graus.  

- "contagens abstratas", que servem para aferir ordens e posições, definindo um "número vinculado".

- "contagens de "número de vezes",   que definem multiplicadores.

As contagens abstratas e as contagens de "número de vezes" são definidas por apenas um número, mas as contagens de módulos e de passos são expressas por um número e uma unidade alusiva. 

4 -"quantidade física", para designar o resultado, expresso por um número e uma unidade,  de uma aferição relacionada com um estado físico ou um fenômeno físico. As quantidades físicas diferem das contagens anteriormente definidas por não resultarem de somas algébricas e são usadas de acordo com o estabelecido nas fórmulas e leis científicas.

5 - "números isolados" - para designar números que apenas expressam uma quantidade e não se relacionam a nenhuma contagem ou quantidade física. 

6 -"equações prestantes", às vezes também referidas neste texto como "equações que importam", para designar equações construídas com  contagens de módulos. 

7-"equações lúdicas", para designar equações construídas com números isolados.

8 - "polinômios prestantes", às vezes "polinômios que importam", para designar polinômios construídos com  contagens de passos. 

9 -"polinômios lúdicos", para designar polinômios construídos com números isolados.

DESENVOLVIMENTO

Números e contagens

O número é um indicador, múltiplo até o infinito, usado para expressar a magnitude de uma contagem ou de uma quantidade física.

O número é neutro, um indicador sem sinal.

Os sinais de mais (+) e de menos (-)  são na verdade atributos de contagens. De fato, a contagem de módulos e a contagem de passos resultam de uma sucessão de adições e subtrações de contagens parciais, configurando uma soma algébrica, que pode resultar positiva ou negativa.  A contagem resultante é sempre referida a um virtual ponto zero. Desse modo, uma expressão numérica negativa é, relativamente ao ponto zero, a imagem de uma contagem, sendo esta, por sua vez, a imagem da sua própria imagem.

Contagens de módulos

A contagem de módulos é uma soma algébrica de “coisas” ou “elementos” iguais ou assim considerados para fins de aferição; por exemplo, 100 laranjas, 100 móveis, 100 alunos. A contagem de módulos é usada na aritmética, em especial na resolução de problemas por meio de equações prestantes, todas do primeiro grau.

Contagens de passos 

As contagens de passos são utilizadas na geometria, para estudar linhas, figuras e sólidos. Uma unidade básicao passo, é usada para aferir comprimentos ou posições. Uma segunda unidade, o passo2, quadrado da unidade básica, é usada para quantificar áreas. Uma terceira, o passo3, cubo da unidade básica, é usada para quantificar volumes.

O passo pode ser uma unidade adotada por convenção, como o metro, tendo o metro quadrado e o metro cúbico como unidades derivadas. As três unidades são a base das expressões numéricas da geometria, respectivamente, comprimentos, áreas e volumes. 

Também pode ser o passo o lado de uma quadrícula ao acaso em uma folha de desenho (caso em que essa unidade fica subentendida, tanto quanto o passo2a unidade dela derivada). O quadrado da quadrícula, que exprime o passo2, pode, no desenho, ser aumentado ou reduzido discricionariamente nos termos de uma escala arbitrária.  

É importante observar que a expressão numérica da contagem de passos em nenhuma hipótese pode ser elevada a uma potência maior que três, nem a alguma potência fracionária, pois essas operações implicariam dimensões que não existem.

Contagens abstratas

Uma contagem abstrata (que poderíamos chamar de "número vinculado") é a expressão numérica de uma posição ou de uma ordem. A expressão numérica de uma contagem abstrata não tem unidade explícita, sendo representada apenas por um número. Por exemplo, o sexto cliente de uma fila.

Contagens de "número de vezes"

Neste texto a expressão "número de vezes" será tomada como equivalente a "multiplicador". Deve-se observar, não obstante, que o multiplicador pode ser um número fracionário. Trata-se de uma contagem que não aceita subtrações e nunca pode ser negativa. Não há, com efeito, multiplicadores negativos!

Quantidades físicas

Seus números e unidades são usados ​​em fórmulas da maneira estabelecida em uma teoria científica. As quantidades físicas em geral não são aferidas mediante somas algébricas, mas de acordo com processos científicos especiais.

As regras do jogo

Como veremos ao longo deste artigo, as expressões numéricas e suas unidades devem balizar as operações matemáticas envolvidas nas equações e nos polinômios. Cabe, a propósito, fazer correlação entre essas operações matemáticas e esportes com bola. Sem bola não há jogo, e cada esporte tem uma bola diferente: bola de futebol, tênis, vôlei, basquete etc. Além disso, as regras do jogo diferem em cada esporte. 

De fato, regras e expressões numéricas que balizam o jogo das equações são diferentes das que balizam o jogo dos polinômio ou as fórmulas da ciência. Por exemplo, contar, medir e ponderar são aferições que dão origem a diferentes expressões numéricas, como: caso (a) 8; caso (b) 8 laranjas; caso (c) 8 metros; caso (d) 8 quilogramas.

Podemos elevar essas expressões ao quadrado? Para responder à pergunta, é necessário em cada caso examinar o que está sendo quantificado:

Caso (a): A resposta é “não"se 8 for uma contagem abstrata (não podemos, por exemplo, elevar ao quadrado a oitava cidade mais populosa do mundo); a resposta é sim, se 8 for um número isolado: 8 x 8 = 64. 

Caso (b): A resposta é “não”, pois laranjas ao quadrado não existem. Estamos falando aqui de contagens de módulos.

Caso (c): Além do metro, existem também o metro quadrado e o metro cúbico, e a resposta é “sim”: 8 metros x 8 metros = 64 metros quadrados. Estamos aqui no terreno da geometria. O metro é uma medida (a unidade básica); o metro quadrado, outra unidade diferente da primeira; e o metro cúbico, uma terceira unidade, diferente das anteriores.

Caso (d): A resposta é “depende”, pois o quilograma é a unidade de uma quantidade física. Estamos falando de ciência. Mediante autorização científica uma quantidade física pode ser multiplicada por si própria ou qualquer outra quantidade física, quando a fórmula assim o determinar, observando-se sempre que as unidades participam dos cálculos, dos quais podem resultar novas unidades.

As unidades envolvem-se nos cálculos

As unidades, se presentes nas contagens , devem,  igualmente, estar presentes nos cálculos, dos quais podem resultar novas unidades, o que se pode observar nos dois exemplos abaixo:

1 - No cálculo do volume de um sólido, um exercício geométrico, os números são dados em metros e a resposta é obtida em metros cúbicos.

2 - No cálculo da força que atua sobre um corpo, que é um exercício da física, a massa é dada em quilogramas, a aceleração, em metros por segundo ao quadrado, sendo a resposta obtida em newtons.

Os cálculos acima são feitos com números, sob a égide das expressões numéricas, o que significa saber, por exemplo, se é possível ou não fazer multiplicações ou como expressar o resultado da operação. Tudo feito com o cuidado de observar o que acontece com as unidades.

Em outras palavras, devemos respeitar as regras do jogo.

Entendendo a multiplicação

A multiplicação é, numa soma algébrica, um mecanismo que permite adicionar, como única parcela, a mesma contagem um “número de vezes” a que se chama de multiplicador. Trata-se de uma contagem abstrata de caráter auxiliar.

Neste artigo a expressão “número de vezes” e a palavra  “multiplicador” têm igual significado. Como já referido, o multiplicador pode ser inteiro ou fracionário.

O multiplicador ou “”número de vezes” é sempre neutro. Em outras palavras, não existe “número de vezes” ou multiplicador  negativo!

Por outro lado, nenhuma contagem pode multiplicar um multiplicador! Um multiplicador só pode ser multiplicado por outro multiplicador. É claro, pois, que nos cálculos com contagens de módulos a ordem dos fatores altera o produto! Três salas de aula de (= três vezes) vinte alunos totalizam sessenta alunos. Mas vinte alunos em três salas não perfazem sessenta salas!

Ver, portanto, que uma contagem de módulos nunca multiplica outra contagem de módulos! Não faz sentido multiplicar um lucro no balanço pela área de um terreno ou elevar uma dívida bancária ao quadrado. Até parece um truísmo, mas, nada obstante, fundamental na matemática!

Contagens multiplicadoras e multiplicadas

Vamos verificar como se comporta cada contagem em relação à multiplicação:

- Contagem de “número de vezes: um “número de vezes” pode multiplicar as  outras contagens, até mesmo outro "número de vezes", tanto quanto multiplicar números isolados. Uma contagem multiplicada por um “número de vezes” dá lugar a outra contagem de mesma unidade: 5 vezes 10 = 50; 5 vezes 10 laranjas = 50 laranjas; 5 vezes 10 metros = 50 metros; 5 vezes 10 quilos = 50 quilos; (5 vezes) vezes (5 vezes) = 25 vezes.

- Contagem de módulos: uma contagem de módulos pode ser multiplicada por "um número de vezes", mas não pode ser usada como multiplicador de outra contagem de módulos ou de qualquer outra contagem. A consequência é que as equações que importam,  ou seja, aquelas que envolvem módulos, são sempre do primeiro grau.

- Contagens de passos: as contagens de passos podem ser multiplicadas por um “número de vezes”, mas também podem se multiplicar, neste caso obtendo uma área, com unidade ao quadrado, e multiplicar uma área, obtendo um volume, com unidade ao cubo. Como consequência, os polinômios relevantes podem ser de primeiro, segundo e terceiro graus. As contagens de passos estão relacionadas à geometria, ou seja, ao estudo da forma, tamanho e posição relativa de linhas, figuras e sólidos. Uma unidade básica serve para expressar comprimentos ou posições. Uma segunda unidade, que corresponde ao quadrado da unidade básica, é usada para quantificar áreas. Uma terceira, o cubo da unidade básica, é usada para quantificar volumes. 

- Quantidades físicas: as quantidades físicas, de acordo com fórmulas impostas pela física, e a elas atendendo, podem ser multiplicadas por um "número de vezes", multiplicar-se ou multiplicar qualquer outra quantidade física, sempre com participação  das unidades envolvidas.

Imagens de contagens e imagens de imagens

Podemos imaginar que uma contagem de módulos, assim como uma contagem de passos, esteja linearmente representada no eixo das abscissas, partindo de um ponto zero. Como somas algébricas, essas contagens podem ser positivas ou negativas. 

As contagens positivas correspondem aos chamados “números positivos”, enquanto as contagens negativas correspondem aos chamados “números negativos”.

Uma contagem negativa (“um número negativo”) é a imagem de uma contagem positiva (“um número positivo”) de igual magnitude e vice-versa:

(- a) = imagem da contagem “+ a” = - (+ a)

(+ a) = imagem da sua própria imagem = - (- a)

Subtrair uma contagem é somar a sua imagem; subtrair uma contagem negativa é somar a própria contagem, positivamente considerada

Subtração de (+ b)

A subtração de uma contagem corresponde à soma da sua imagem, como a seguir:

(a) - (+ b) = (a) + (- b)

Subtração de (- b)

A subtração da imagem de uma contagem corresponde, por seu turno, à soma da própria contagem (pois uma contagem é a imagem da sua imagem):

(a) - (- b) = (a) + (+ b)

Produtos com fatores negativos

Uma multiplicação com dois fatores negativos não implica admitir multiplicador negativo, conforme se pode ver nos dois casos a seguir.

Primeiro caso: multiplicação de (x - a) por (x - b)  

A multiplicação com dois fatores negativos é consequência de um episódio matemático que ocorre dentro das operações algébricas, mas nunca em eventos da vida real. Por exemplo, a multiplicação algébrica de (x - a) por (x - b) dá lugar à seguinte soma algébrica:  

x² - ax - bx + (- a) x (- b)

Última parcela da soma algébrica acima, “(- a) x (- b)” é portanto uma ocorrência no interior de uma operação matemática, cabendo lembrar que estamos multiplicando (x - a) por (x - b), e não (- a) por (- b).

O que significa e qual o resultado P dessa multiplicação incidental com dois fatores negativos?

Resposta: partindo do pressuposto de que o multiplicador é sempre positivo, um dos sinais negativos indica que o produto é negativo e o outro, que tal produto negativo é uma imagem. O resultado é, portanto, a imagem da imagem de uma contagem, ou seja, a própria contagem, positivamente considerada. Do seguinte modo:

P = (- a) x (- b) = - (a) x (- b) = - (- a) x (b) = - (-ab) = + ab

O raciocínio acima, válido para contagens de passos, pode ser geometricamente visualizado, conforme mostro no Apêndice I. O raciocínio também vale em caso de fatores com números isoladamente considerados, isto é, números não vinculados a contagens. 

Ver que a multiplicação com dois fatores negativos não ocorre no nosso quotidiano. Por quê? Porque não há “número de vezes” negativo;  ninguém pode cobrar de outrem uma dívida de “menos cinco vezes” o aluguel devido ou receber “menos três vezes” uma dúzia de maçãs.

Segundo caso: multiplicação dentro de uma equação:

Seja o caso de efetuar a multiplicação

P = - 5 (7 - x),

que ocorra num desenvolvimento algébrico (no interior de uma equação, por exemplo). É evidente que x é uma contagem de passos ou de módulos, ou mesmo uma quantidade física, tanto quanto 7. Ou então 5, x e 7 são números isolados de uma equação lúdica. Em qualquer dos casos, 5 é o multiplicador, que, não pode ser negativo.  Logo, o que se quer calcular é a imagem de 5 (7 - x).

P = - (5 (7 - x)) = 

imagem de (5 (7 - x)) = 

imagem de (35 – 5x) = 

5x - 35

Resumo

Dois fatores positivos indicam multiplicação de uma contagem positiva por um “número de vezes”. O resultado é positivo.

Um fator positivo e outro negativo indicam multiplicação de contagem negativa por um “número de vezes”, de modo a obter um resultado  negativo.  

Dois fatores negativos indicam imagem da multiplicação de contagem negativa por um “número de vezes”. O resultado é positivo, porque imagem de uma imagem.

  Um “número negativo” elevado à potência “n”

A imagem de uma contagem (isto é, um “número negativo”) não pode ser a base de nenhuma potência, dado que não pode atuar como multiplicador. Ou seja, não é possível elevar um “número negativo” ao quadrado, ao cubo etc.

Como então interpretar e proceder, se numa operação algébrica aparecer uma expressão como (-a)nResposta : (-a)n é igual a (-a) multiplicado por (a)(n-1), com resultado positivo, se “n” for par, e com resultado negativo, se “n” for ímpar. Uma multiplicação de caráter acidental, somente possível com contagens de passos, relevante na geometria, no trato com polinômios do segundo e do terceiro graus. Ou com números isolados, nos polinômios de caráter lúdico. Exemplos:

Seja calcular x2, para x = - 11, e x3, para x = - 5:

x2 = (- 11)2 =  - (11) x (- 11) = - ( -121) = + 121

x3  = (- 5)3 =  - - (5)2 x (- 5)   = - - (25) x (-5) = - 125

Observação

Um “número negativo” nunca resulta de uma raiz quadrada porque “números negativos” (imagens) não têm quadrado.

Equações

É importante o entendimento de que "equação" é o confronto de duas somas algébricas de contagens construídas para serem iguais, uma das quais, ou ambas, contendo uma contagem desconhecida, designada pela letra “x” e denominada “incógnita”.

É um mecanismo desenvolvido caso a caso para a resolução de problemas aritméticos.

As equações que envolvem contagens de módulos são as “equações que importam” ou "prestantes" e as que envolvem números isolados são as equações lúdicas”. No caso geral, sejam “equações que importam” ou “lúdicas”, existe um único “x”, desconhecido, que se pretende descobrir. Ressalve-se o caso da chamada equação do segundo grau, que é na verdade uma equação ambígua do primeiro grau, lúdica, com duas possibilidades e duas soluções interligadas, como veremos no Apêndice II.

Uma equação que importa, a de contagens de módulos, sempre tem de envolver duas contagens: uma incógnita x e um termo independente de x. Não existe equação sem termo independente de x.

As equações de contagens de módulos são relevantes em matemática, enquanto as de números isolados são apenas lúdicas. Por que lúdicas? Porque a princípio despertam interesse restrito, meramente recreativo, sem aplicação na vida real. Qual a utilidade, que não lúdica, de encontrar números isolados e sem nenhuma conexão com a realidade, ou seja, números que nada significam? Podemos, por exemplo, construir uma equação e descobrir que os três “números” consecutivos que somam 141 são 46; 47; e 48, mas não há nenhuma utilidade, que não recreacional, nessa resposta.

A equação envolvendo números isolados pode ser de qualquer grau, desde que resulte de uma igualdade imposta a duas somas algébricas a partir de um problema proposto. No entanto, não é fácil construir equações de grau maior que um. Se, não obstante, puderem ser construídas, outro problema será resolvê-las.

A única equação de grau superior do meu conhecimento é a equação lúdica, do segundo grau, necessária para encontrar “dois números de soma S e produto P”. Um caso excepcional de equação com duas incógnitas, cuja solução é discutida no Apêndice II, no qual chego, não obstante, a especular se a equação do segundo grau não seria na verdade uma equação do primeiro grau abrigando duas versões impostas por uma questão de simetria. A equação do segundo grau é na verdade uma interligação de duas equações do primeiro grau que têm a mesma expressão algébrica.  

Comento agora sobre a dica de multiplicar “(x - a)” por “(x - b)” por “(x - c)” etc., “n” vezes, e igualar o resultado a zero para obter uma “equação” de grau “n”, com “n” “raízes”. Trata-se de uma equação falsa, pois não foi erigida impondo igualdade a duas somas algébricas de contagens. O polinômio lúdico obtido é certamente igual a zero para x = a, para x = b, para x = c, e assim por diante, mas encontrar essas "raízes" é exercício tedioso, certamente inútil, de enxugamento de gelo.

Ressalte-se, ainda uma vez, que a equação é uma igualdade imposta a duas somas algébricas de contagens, nas quais existe um termo desconhecido, designado pela letra “x” e denominado “incógnita”. Se a incógnita for uma contagem de módulos, a equação é necessariamente do primeiro grau porque uma contagem de módulos não pode ser multiplicada por outra contagem de módulos ou elevada a qualquer potência.

Na equação que importa não há lugar para x², nem x³, ou qualquer outra potência de x. Tampouco existe "y". As contagens envolvidas numa equação que importa são integralmente  consideradas no eixo dos x.

Polinômios

Assim como a contagem de módulos serve à aritmética, a contagem de passos serve à geometria, da qual um dos instrumentos é o polinômio, uma espécie de fórmula para estudar linhas, figuras, sólidos e suas relações.

Os "polinômios que importam" operam com contagens de passos e suas duas unidades derivadas (passo, passo2 e passo3) e podem ser de primeiro, segundo e terceiro graus.

Se  o polinômio for do primeiro grau, y é uma contagem de passos; se do segundo grau, uma área; se do terceiro grau, um volume. Todos os polinômios de grau acima de três são lúdicos.

O polinômio é uma fórmula, não um confronto de somas algébricas de contagens, e nesta condição y pode corresponder a todo e qualquer valor de “x”, arbitrariamente escolhido. Diversamente, o “x” de uma equação é único e responde a um problema proposto. Igualado um polinômio a zero, a igualdade resultante corresponde aos pontos nos quais ele se anula, não dando surgimento a uma equação. 

Observação: não existem equações na geometria, um ramo da matemática cujas igualdades são demonstradas por meio de teoremas, como o de Pitágoras. Uma igualdade geométrica, imposta por um teorema, não pode ser confundida com uma equação, que é um confronto de duas somas algébricas de contagens construídas para serem iguais com a finalidade de resolver um problema particular de aritmética.

Matemática na ciência

A ciência tem regras especiais para a matemática e impõe caso a caso suas fórmulas e unidades. A física indica, por alguma fórmula, se a expressão numérica de uma propriedade física pode ser multiplicada por si ou pela expressão numérica de outra propriedade física. Por exemplo, números e unidades estão envolvidos na fórmula da lei da gravidade, na qual a expressão numérica de uma força, em newtons, resulta de cálculos com expressões numéricas em metros e quilogramas:

F = G. m1.m2 / r²

F = força gravitacional, em "newtons", n

m1 e m2 = massas, em “quilogramas”, k

 r = distância, em “metros”, m

G = constante de gravitação universal, em “(n.m² / k²)”, unidade gerada pela fórmula.

Outro ponto de interesse é que a física é livre para elevar suas propriedades a qualquer potência. Por exemplo, a lei de Stefan-Boltzmann estabelece que a potência emissiva (e) do corpo negro é proporcional à quarta potência de sua temperatura absoluta (T):           

e= c.T                                                                

e = potência emissiva, em “watt/m2

T = a temperatura absoluta, em “graus Kelvin.”

c = constante de proporcionalidade, em unidades derivadas da fórmula.

As fórmulas da física são definições científicas, não equações. Por exemplo, a equação mais famosa de Einstein, e = m.c², é uma proposição científica, e não exatamente uma equação, ou seja, não confronta duas igualdades construídas para descobrir uma quantidade desconhecida. O autor deste artigo não ousa dizer que a ciência não tem equações, mas abriga o entendimento de que afirmações como as contidas na equação de Clapeyron, na lei da gravitação universal, na segunda lei de Newton, na lei de Coulomb, bem como nas equações de campo de Einstein e na fórmula da lei de Stefan-Boltzmann, não são equações, mas imposições científicas.

Tenho para mim que a palavra “equação” é usada na ciência metaforicamente, como se fosse sinônimo de “fórmula”.     

CONCLUSÕES

O número é neutro. Não existem números positivos, negativos ou imaginários.

As operações matemáticas relativas a equações e polinômios devem ser feitas com expressões numéricas de contagens, envolvendo nos cálculos os números e as unidades das contagens.

As expressões numéricas que resultam de somas algébricas (as contagens de módulos e as contagens de passos), estas sim, podem ser positivas ou negativas.

Uma contagem negativa corresponde à sua imagem; uma contagem (positiva) é a imagem da sua imagem.

Subtrair uma contagem é adicionar sua imagem à soma algébrica; subtrair a imagem de uma contagem é adicionar esta à soma algébrica.

A multiplicação é, numa soma algébrica, um mecanismo que permite adicionar, como única parcela, a mesma contagem um “número de vezes” a que se chama de multiplicador. O entendimento do que seja uma multiplicação e de suas limitações é fundamental  nas decisões e nos processos matemáticos.  

Não há multiplicação com multiplicadores negativos. Dois fatores negativos são um acidente algébrico, com resultado positivo, por ser este a imagem de um produto negativo.

A imagem de uma contagem não pode ser potenciada, pois não há multiplicador negativo. Não existe, pois, raiz quadrada de “número negativo”. Tampouco existem "números imaginários".

As equações são uma ferramenta da aritmética; as “equações que importam”, construídas com contagens de módulos, são necessariamente do primeiro grau. As equações com números isolados são lúdicas e, se possível construí-las, podem ser de qualquer grau.

Os polinômios são uma ferramenta da geometria; os “polinômios que importam”, que são construídos com contagens de passos, podem ser de primeiro, segundo e terceiro graus.

Não é equação um polinômio igualado a zero.

Não há nenhuma restrição matemática à multiplicação de quantidades físicas e ao grau da potenciação nas fórmulas da ciência.         

APÊNDICE I: DOIS FATORES NEGATIVOS

Vale perguntar: se não há multiplicador (“número de vezes”) negativo, como se pode explicar que haja multiplicação com dois fatores negativos? 

Resposta: trata-se de um acidente algébrico no interior de operações algébricas ou no trato com polinômios. 

É fácil explicar. 

Assumindo, por exemplo, que (x - a) e (x - b) sejam os lados do retângulo A1, o cálculo de sua área, (x - a) versus (x - b), desdobra-se numa soma algébrica em que uma das parcelas é o produto  (-a) x (-b), como abaixo:

A1 = (x - a) x (x - b) = x² - ax - bx + (- a) x (- b)    (Relação  I )

Seja o quadrado, de lado “x” e área A, Figura 1. Dividamos o lado inferior desse quadrado em "a" e “(x - a)”, e o lado adjacente esquerdo, em “b” e (x – b).

                                                   Figura 1                                                         

O quadrado de área A fica assim repartido em quatro retângulos, com áreas A1, A2, A3 e A4, de forma que:

A = A1 + A2 + A3 + A4          

(A = área do quadrado externo) 

A= A - A- A3 - A("produto")           

Ver que:

A1 área do retângulo considerado inicialmente = (x - a) x (x - b)).

A = + x²

A2 = + ax - A4

A3 = + bx - A4

A4   = + ab

Ao substituir no "produto" os valores, como acima, de A, A2 ,A3 e A4

obtemos

A1+ x² - (+ ax - ab) - (+ bx - ab) - ab 

A1=x² - ax - bx + ab                                   (Relação  II )

A1 (Relação  I) = A1 (Relação  II ), resultando:

(-a) x (-b) = + ab                         

Ou seja, (-a) x (-b) iguala-se a +ab  em decorrência e como resultado de uma sucessão de operações necessárias para recuperar uma contagem que de outro modo seria indevidamente subtraída do produto (x - a) x (x - b) 

Assim se explica como o produto dos dois fatores negativos resultou positivo e ajuda a entender por que “menos multiplicado por menos dá mais”,  em linha com o entendimento de que a multiplicação com dois fatores negativos, (- a) e (- b), gera a imagem de um produto negativo, (- (- ab)), isto é, um resultado positivo (+ ab).

Parábola centrada no ponto zero

“Números negativos”, ou seja, contagens negativas, podem ser multiplicados por um “número de vezes”, mas não podem ser elevados a nenhuma potência. Não existem quadrados de imagens; existem, isto sim, imagens de imagens de produtos, o que se pode ver examinando o caso da parábola Y = X2,  a qual é centrada na origem dos eixos cartesianos, com um dos ramos no primeiro quadrante, e o outro, no segundo quadrante. O lado da parábola no segundo quadrante, lado esquerdo da figura, é também de ordenadas positivas, configurando uma simetria. Ver Figura 2.

  Ramo direito de  X2             Ramo esquerdo de X2 

                                                                                                                                                                                                                                                                                                         Y = (+ X) x (+ X) = + X2                          Y = -(X) (-X) = + X2

         

'         X                         Y                                 X                                Y

         1                        + 1                              (- 1)                    - (-1) =   + 1

         2                       + 4                              (-2)                    - (- 4) =  + 4 

         3                       + 9                              (- 3)                   - (- 9) =  + 9   

         4                       + 16                            (- 4)                  - (- 16) = + 16

  

 
Figura 2


X(+X) x (+X) = (-X) x (-X)  é positivo em ambos os quadrantes, em decorrência de que  (-X) 2 = (+X) 2 


APÊNDICE II: PARÁBOLA E EQUAÇÃO DO SEGUNDO GRAU

Vamos mostrar que o trinômio de segundo grau  e a equação do segundo grau não têm relação direta e que sua conexão é aparente e não passa de uma coincidência matemática. 

Antes de mais nada, a equação do segundo grau é uma equação lúdica (envolvendo números isolados); a parábola é um trinômio do segundo grau (envolvendo passos e passos quadrados). Ver, ainda uma vez, que, se igualado a zero, um trinômio do segundo grau (como qualquer polinômio) não se transforma em equação.

O trinômio do segundo grau

É assunto da geometria.

Trata-se de uma fórmula geométrica que, num sistema cartesiano, gera a figura de uma parábola, na qual as abscissas (x) referem-se ao passo escolhido e as ordenadas (y) resultantes são expressas em passos quadrados.

y = ax² + bx + c

Com efeito, na fórmula do trinômio, como acima, “x” e “b” são medidas lineares, “y” e “c” são áreas, enquanto “a” é um multiplicador (“número de vezes”) de áreas.

Ver, na figura 3, que cada ordenada y* corresponde a dois pontos simétricos da parábola, cujas abscissas são x*1 e x*2. As  raízes da parábola podem ser calculadas usando a fórmula de Bhaskara: 

x1 e x2 = (- b ± √ (b²- 4ac)) /2a

Figura 3

Essa fórmula é obtida mediante uma demonstração geométrica, que vamos apresentar a seguir, com o intuito de divorciá-la da chamada equação do segundo grau, cuja resolução se faz com recursos aritméticos.. Como a seguir.

Trinômio: y = ax² + bx + c     

Raízes: x1 e x2 , a serem calculadas

y´= 2ax + b (derivada primeira)O ponto M, de ordenada mínima (que corresponde a y' = 0) e abscissa xm, é a referência para a simetria da parábola.

xm = - b/2a

xm dista “d” das raízes x1 e x2.

x1 = xm – d = - (b + 2ad)/2a

x2 = xm + d = - (b - 2ad)/2a

Cálculo de  x1

ax1² + bx1 + c = 0

Substituindo xpor - (b + 2ad)/2a e desenvolvendo, temos

d = √ (b² - 4ac)/2a 

x1 = - (b + 2ad)/2a

x= (- b - √ (b² - 4ac))/2a  (1)

Cálculo de x2

x2 = - (b - 2ad)/2a

x2 = (- b + √ b² - 4ac))/2a (2) 

Fórmula de Bhaskara como geralmente apresentada

Engloba (1) e (2)

x1 e x2 = (- b ± √ b² - 4ac))/2a

Observação importante: a ocorrência de (b² - 4ac) menor que zero implica raiz quadrada impossível, indicando que a parábola não possui raízes, por estar totalmente acima ou totalmente abaixo do eixo dos “x”, como na figura 4.


Figura 4

                            Exemplos de aplicação

(a) Dado o trinômio y = x² - 5x + 6, calcular as raízes (x1 e x2),

x² - 5x + 6 = 0

x1 e x2 = (- b ± √ b² - 4ac))/2a

 x1 e x2= (5 ± √ (25-24))/2 = (5 ± √ 1))/2 = (5 ± 1))/2 = 2 e 3

(b) Dado o trinômio y = x² - 3x + 6, calcular as raízes (xe x2).

x² - 3x + 6 = 0

x1 e x2 = (3 ± √ (3² -24))/2 = (3 ± √ (-15))/2. 

É impossível a raiz quadrada de -15. Portanto, a parábola correspondente ao trinômio y = x² - 3x + 6 não tem raízes, isto é, não encontra o eixo dos x.

A equação de segundo grau

 É assunto da aritmética.

O trinômio y = x² - 5x + 6, se igualado a zero, dá lugar à falsa equação x² - 5x + 6 = 0, cujas raízes são 2 e 3, como calculamos acima. São, como vimos, os pontos x1 e x2, em que a parábola encontra o eixo horizontal. 

Vejamos, por outro lado, o que acontece quando tentamos resolver a seguinte questão: calcular dois números, x1 e x2, de soma 5 e produto 6. A qual nos leva a multiplicar “x” por (5-x) e igualar o resultado a 6, ou seja, construir a equação: x² - 5x + 6 = 0, a mesma equação, agora real, embora lúdica, que resulta falsa quando o trinômio y = x² - 5x + 6 é igualado a zero.

A equação x² - 5x + 6 = 0 é, desse modo:

- Na geometria: uma equação do segundo grau falsa, que resulta de um polinômio igualado a zero. Os valores envolvidos são contagens de passos ou de seus quadrad0s.

- Na aritmética: uma equação do segundo grau lúdica, mas real, que resulta de um confronto de duas somas algébricas para resolver um problema. Os valores envolvidos são números isolados. Ver a sutileza de que não se trata propriamente de uma equação mas uma fusão de duas equações 

x1 + x2= 5   e  x1 . x2 = 6 

Portanto, a mesma igualdade (x² - 5x + 6) assume dois sentidos matemáticos distintos: um, para buscar, entre os pontos infinitos de x,  que são passos, os dois pontos que anulam a parábola; e outro, para calcular dois números isolados, de soma 5 e produto 6. Em ambos os casos, os dois valores procurados são 2 e 3, que são, num caso, as duas incógnitas da equação dos números e, no outro, as duas contagens de passos que definem os pontos onde a parábola se anula.

A busca das raízes da parábola envolve dois eixos, contagens de passos e um trinômio: as raízes são fornecidas pela fórmula de Bhaskara, obtida, como demonstrado, com recursos geométricos.

A busca dos números desconhecidos, isolados, envolve uma equação lúdica e apenas um eixo. Suas soluções podem ser obtidas dispensando Bhaskara. Trata-se  de um problema aritmético que pode ser resolvido por meios aritméticos, como se mostra a seguir.

Seja encontrar x1 e x2, os números (isolados) cuja soma  é 5 e o produto, 6, que deram origem à equação x²-5x+6=0. Ver que se calcularmos x1, teremos x2= 5-x1

Vamos calcular xque, como x2satisfaz à equação, isto é,  x1² - 5x1 + 6 = 0  .

Para isso, façamos x1 = j + k, com j  0 e k ≠ 0

x1² - 5x1 + 6 = 0  (1)

Se x1 = j + k,  então 

x1² = (j + k)² = j2 + 2jk + k2  

- 5x= - 5j -5k

de modo que, substituindo em (1), temos 

j2+ 2jk + k- 5j -5k + 6 = 0

Rearranjando

(2jk - 5k) + (j2 + k2- - 5j + 6) = 0    

Para garantir a nulidade acima, basta que

(2jk - 5k)

e

 (j2 + k2- - 5j + 6) =0


(2jk - 5k) = 0     

k ≠ o

k (2j - 5) = 0      

j = 5/2 = 2,5


(j2 + k- 5j + 6) = 0

(j2 + k- 5j + 6) = 0

j = 2,5

(2,5)2 + k2- 5 x 2,5 + 6= 0

k = ½

Valor de  x1

x1 = j + k = 5/2 + ½  =  3  

Valor  de  x2

 x2= 5 –x1 =  2

Obtivemos desse modo os valores de x1 e x2 com recursos aritméticos, sem recorrer à formula de Bhaskara.     

Elucubração final sobre a equação do segundo grau

A equação do "segundo grau" será mesmo do segundo grau? Avento aqui a possibilidade de que a equação do segundo grau seja, na verdade, uma equação do primeiro grau que pode abrigar duas versões diferentes, cada uma com uma incógnita numericamente igual ao seu multiplicador.

Com efeito, consideremos a equação do segundo grau ax2 + bx + c = 0 . A equação parece do segundo grau, mas é na verdade do primeiro grau porque nela xé o produto de um “número de vezes” x* por uma contagem abstrata x,  ou seja, uma contagem multiplicada por um número de vezes  de igual valor quantitativo. A fusão das duas equações ( x1 + x2= 5   e  x1 . x2 = 6) resultou numa equação do primeiro grau que serve à obtenção de duas incógnitas e nesse mister utiliza em ambas as versões sua soma S e seu produto P. 

x*1 . x1  Sx1+  P = 0, 

x*2 . x2 - Sx2 + P = 0, 

Primeira versão da equação do primeiro grau  presente na equação x2 - 5x + 6 = 0

x*1 . x1  Sx1+  P = 0

2x1 - 5x1 + 6 = 0

x1= 2

Segunda versão da equação do primeiro grau presente na equação x2 - 5x + 6 = 0

 x*2 . x2 - Sx2 + P = 0 

3x2 - 5x2 + 6 = 0

x2 = 3 

Cada versão tem uma incógnita, que num dos seus termos () aparece multiplicada por um "numero de vezes"  de igual valor numérico. Ver que a equação do "segundo" grau é o resultado de duas equações (no exemplo, (x1 + x2 =5)  e   (x1. x2 =6), ou seja, tem duas igualdades envolvidas, não apenas uma, o que gera a interligação das soluções. Um prodígio da simetria matemática!

Conclusões

A "fórmula" de Bhaskara é a junção de duas fórmulas que podem ser demonstradas pela geometria e serve para extrair as raízes de um trinômio do segundo grau.

A equação do "segundo grau" é na verdade uma equação do primeiro grau com duas versões, cada uma com uma incógnita numericamente igual a seu multiplicador. Essa dupla de versões acomoda e interliga duas igualdades  (x1 + x2)= S  e (x1. x2) = P). Uma versão para x1 e uma versão para  x2.

REFERÊNCIAS

Mannarino, Remo, Reflexões de um matemático acidental, Rio de Janeiro, Catalivros, 2019

Mannarino, Remo, A matemática pode ser diferente? Rio de Janeiro, Catalivros, 2020

Mannarino, Remo, The mathematics of numerical expressions, GSG Journal Publication, Volume 8. Issue7, July 2020 Edition, 328 335