DISCUTINDO OS FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA

NOVOS FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA

Pesquisa feita entre 2018 e 2020.

Texto elaborado em 2020 e aqui publicado em 19 de março de 2021. 

Autor: Remo Mannarino

INTRODUÇÃO

O texto que se segue propõe uma reformulação nos fundamentos da matemática, que tem como fulcro o entendimento de que os cálculos matemáticos devem ser feitos com expressões numéricas de contagens, de medidas, de quantidades físicas ou de contagens abstratas, não com números isoladamente considerados.

A reformulação estabelece que os números são neutros, descartando a existência de números positivos, negativos ou imaginários.

E, mais, não existem multiplicadores negativos, sendo certo que, tratando-se de contagens de módulos, só há uma ordem dos fatores, o fator multiplicador seguido do fator a ser multiplicado.

Ver, ainda, que, na matemática relevante, só as contagens de passos e as quantidades físicas podem ser elevadas ao quadrado, como, de resto, a qualquer outra potência.

Equações relevantes são expressas em contagens de módulos e polinômios relevantes são expressos em passos e unidades derivadas dos mesmos. Observar também que só existem equações matematicamente relevantes que sejam do primeiro grau e polinômios matematicamente relevantes que sejam do primeiro, do segundo ou do terceiro graus.

E a equação do segundo grau, tão presente em todos os currículos?  A resposta é simples: a chamada equação do segundo grau é na verdade uma equação do primeiro grau com duas versões imbricadas, de caráter lúdico, cujas soluções podem ser obtidas aritmeticamente. Considerar como equação do segundo grau o trinômio da parábola igualado a zero é um entendimento que contribui para tumultuar a matemática e atravancar o seu progresso.

TERMINOLOGIA

Este artigo adota arbitrariamente os seguintes termos e expressões:

1 - "módulo", para designar um elemento ou membro de um conjunto.

2 - "passo", para designar uma unidade de distância adotada para fazer um estudo geométrico.

3 - "contagem", para designar o resultado de uma aferição ou de uma verificação de ordem ou posicionamento. Há quatro tipos de contagens:

- "contagens de módulos", que servem às equações do primeiro grau;

 - "contagens de passos", que servem aos polinômios do primeiro, do segundo e do terceiro graus.  

- "contagens abstratas", que servem para aferir ordens e posições, definindo um "número vinculado".

- "contagens de "número de vezes", que definem multiplicadores.

As contagens abstratas e as contagens de "número de vezes" são definidas por um número “vinculado” a essas contagens, mas as contagens de módulos e de passos são expressas por um número e uma unidade alusiva. 

4 -"quantidade física", para designar o resultado, expresso por um número e uma unidade, de uma aferição relacionada com um estado físico ou um fenômeno físico. As quantidades físicas diferem das contagens anteriormente definidas por não resultarem de somas algébricas e são usadas de acordo com o estabelecido nas fórmulas e leis científicas.

5 - "números isolados" - para designar números que apenas expressam uma quantidade e não se relacionam a nenhuma contagem ou quantidade física. 

6 – “equações ou polinômios de caráter lúdico” – equações ou polinômios construídos com números isolados.

7 – “equações que importam, prestantes ou relevantes” – são aquelas construídas com contagens de módulos.

8 – “polinômios que importam, prestantes ou relevantes” – são aqueles construídos com contagens de passos e de seus derivados.

DESENVOLVIMENTO

Números e contagens

O número é um indicador, múltiplo até o infinito, usado para expressar a magnitude de uma contagem ou de uma quantidade física.

O número é neutro, um indicador sem sinal.

Os sinais de mais (+) e de menos (-) são na verdade atributos de contagens. De fato, a contagem de módulos e a contagem de passos resultam de uma sucessão de adições e subtrações de contagens parciais, configurando uma soma algébrica, que pode resultar positiva ou negativa.  A contagem resultante é sempre referida a um virtual ponto zero. Desse modo, uma expressão numérica negativa é, relativamente ao ponto zero, a imagem de uma contagem, sendo esta, por sua vez, a imagem da sua própria imagem.

Contagens de módulos

A contagem de módulos é uma soma algébrica de “coisas” ou “elementos” iguais ou assim considerados para fins de aferição; por exemplo, 100 laranjas, 100 móveis, 100 alunos. A contagem de módulos é usada na aritmética, em especial na resolução de problemas por meio de equações prestantes, todas do primeiro grau.

Contagens de passos 

As contagens de passos são utilizadas na geometria, para estudar linhas, figuras e sólidos. Uma unidade básica, o passo, é usada para aferir comprimentos ou posições. Uma segunda unidade, o passo², quadrado da unidade básica, é usada para quantificar áreas. Uma terceira, o passo³, cubo da unidade básica, é usada para quantificar volumes.

O passo pode ser uma unidade adotada por convenção, como o metro, tendo o metro quadrado e o metro cúbico como unidades derivadas. As três unidades são a base das expressões numéricas da geometria, respectivamente, comprimentos, áreas e volumes. 

Também pode ser o passo o lado de uma quadrícula ao acaso em uma folha de desenho (caso em que essa unidade fica subentendida, tanto quanto o passo², a unidade dela derivada). O quadrado da quadrícula, que exprime o passo², pode, no desenho, ser aumentado ou reduzido discricionariamente nos termos de uma escala arbitrária.  

É importante observar que a expressão numérica da contagem de passos em nenhuma hipótese pode ser elevada a uma potência maior que três, nem a alguma potência fracionária, pois essas operações implicariam dimensões que não existem.

Contagens abstratas

Uma contagem abstrata (que poderíamos chamar de "número vinculado") é a expressão numérica de uma posição ou de uma ordem. A expressão numérica de uma contagem abstrata não tem unidade explícita, sendo representada apenas por um número. Por exemplo, o sexto cliente de uma fila ou a oitava economia do mundo.

Contagens de "número de vezes"

Neste texto a expressão "número de vezes" será tomada como equivalente a "multiplicador". Deve-se observar, não obstante, que o multiplicador pode ser um número fracionário. Trata-se de uma contagem que não aceita subtrações e nunca pode ser negativa. Não há, com efeito, multiplicadores negativos!

Quantidades físicas

Seus números e unidades são usados ​​em fórmulas da maneira estabelecida em uma teoria científica. As quantidades físicas em geral não são aferidas mediante somas algébricas, mas de acordo com processos científicos especiais.

As unidades envolvem-se nos cálculos

As unidades, se presentes nas contagens, devem, igualmente, estar presentes nos cálculos, dos quais podem resultar novas unidades, o que se observa nos dois exemplos abaixo:

1 - No cálculo do volume de um sólido, um exercício geométrico, os números são dados em metros e a resposta é obtida em metros cúbicos.

2 - No cálculo da força que atua sobre um corpo, que é um exercício da física, a massa é dada em quilogramas, a aceleração, em metros por segundo ao quadrado, sendo a resposta obtida em newtons.

Os cálculos acima são feitos com números, sob a égide das expressões numéricas, o que significa saber, por exemplo, se é possível ou não fazer multiplicações ou como expressar o resultado da operação. Tudo feito com o cuidado de observar o que acontece com as unidades.

Em outras palavras, devemos respeitar as regras do jogo.

Entendendo a multiplicação

A multiplicação é, numa soma algébrica, um mecanismo que permite adicionar, como única parcela, a mesma contagem um “número de vezes” a que se chama de multiplicador. Trata-se de uma contagem abstrata de caráter auxiliar.

Neste artigo a expressão “número de vezes” e a palavra “multiplicador” têm igual significado. Como já referido, o multiplicador pode ser inteiro ou fracionário.

O multiplicador ou “número de vezes” é sempre neutro. Em outras palavras, não existe “número de vezes” ou multiplicador negativo!

Por outro lado, nenhuma outra contagem pode multiplicar um multiplicador! Um multiplicador só pode ser multiplicado por outro multiplicador. Eis que nos cálculos com contagens de módulos a ordem dos fatores altera o produto! Três salas de aula de (= três vezes) vinte alunos totalizam sessenta alunos. Mas vinte alunos em três salas não perfazem sessenta salas!

Ver, portanto, que uma contagem de módulos nunca multiplica outra contagem de módulos! Não faz sentido multiplicar um lucro no balanço pela área de um terreno ou elevar uma dívida bancária ao quadrado. Até parece um truísmo, mas, nada obstante e como veremos, um entendimento fundamental na matemática!

Contagens multiplicadoras e contagens multiplicadas

Vamos verificar como se comporta cada contagem em relação à multiplicação:

- Contagem de “número de vezes”: um “número de vezes” pode multiplicar as outras contagens, até mesmo outro "número de vezes", tanto quanto multiplicar números isolados. Uma contagem multiplicada por um “número de vezes” dá lugar a outra contagem de mesma unidade: 5 vezes 10 = 50; 5 vezes 10 laranjas = 50 laranjas; 5 vezes 10 metros = 50 metros; 5 vezes 10 quilos = 50 quilos; (5 vezes) vezes (5 vezes) = 25 vezes.

- Contagem de módulos: uma contagem de módulos pode ser multiplicada por "um número de vezes", mas não pode ser usada como multiplicador de outra contagem de módulos ou de qualquer outra contagem. A consequência é que as equações que importam, ou seja, aquelas que envolvem módulos, são sempre do primeiro grau.

- Contagens de passos: as contagens de passos podem ser multiplicadas por um “número de vezes”, mas também podem se multiplicar, neste caso obtendo uma área, com unidade ao quadrado, e multiplicar uma área, obtendo um volume, com unidade ao cubo. Como consequência, os polinômios relevantes podem ser de primeiro, segundo e terceiro graus. As contagens de passos estão relacionadas à geometria, ou seja, ao estudo da forma, tamanho e posição relativa de linhas, figuras e sólidos. Uma unidade básica serve para expressar comprimentos. Uma segunda unidade, que corresponde ao quadrado da unidade básica, é usada para quantificar áreas. Uma terceira, o cubo da unidade básica, é usada para quantificar volumes. 

- Quantidades físicas: as quantidades físicas, de acordo com fórmulas impostas pela física, e a elas atendendo, podem ser multiplicadas por um "número de vezes", multiplicar-se ou multiplicar qualquer outra quantidade física, sempre com participação das unidades envolvidas.

Imagens de contagens e imagens de imagens

Podemos imaginar que uma contagem de módulos, assim como uma contagem de passos, esteja linearmente representada no eixo das abscissas, partindo de um ponto zero. Como somas algébricas, essas contagens podem ser positivas ou negativas. 

As contagens positivas correspondem metaforicamente aos chamados “números positivos”, enquanto as contagens negativas correspondem metaforicamente aos chamados “números negativos”.

Uma contagem negativa (“um número negativo”) é a imagem de uma contagem positiva (“um número positivo”) de igual magnitude e vice-versa:

(- a) = imagem da contagem “+ a” = - (+ a)

(+ a) = imagem da sua própria imagem = - (- a)

Subtrair contagens ou subtrair imagens de contagens

Subtração de (+ b)

A subtração de uma contagem corresponde à soma da sua imagem, como a seguir:

(a) - (+ b) = (a) + (- b)

Subtração de (- b)

A subtração da imagem de uma contagem corresponde, por seu turno, à soma da própria contagem (pois uma contagem é a imagem da sua imagem):

(a) - (- b) = (a) + (+ b)

Produtos com fatores negativos

Uma multiplicação com dois fatores negativos não implica admitir multiplicador negativo, conforme se pode ver nos dois casos a seguir.

Primeiro caso: multiplicação de (x - a) por (x - b)  

A multiplicação com dois fatores negativos é consequência de um acidente matemático que ocorre dentro das operações algébricas, mas nunca em eventos da vida real. Por exemplo, a multiplicação algébrica de (x - a) por (x - b) dá lugar à seguinte soma algébrica:  

x² - ax – bx + (- a) x (- b)

Última parcela da soma algébrica acima, “(- a) x (- b)” é, portanto, uma ocorrência no interior de uma operação matemática, cabendo lembrar que estamos multiplicando (x - a) por (x - b), e não (- a) por (- b).

O que significa e qual o resultado P dessa multiplicação incidental com dois fatores negativos?

Resposta: partindo do pressuposto de que o multiplicador é sempre positivo, um dos sinais negativos indica que o produto é negativo e o outro, que tal produto negativo é uma imagem. O resultado é, portanto, a imagem da imagem de uma contagem, ou seja, a própria contagem, positivamente considerada. Do seguinte modo:

P = (- a) x (- b) = - (a) x (- b) = - (- a) x (b) = - (-ab) = + ab

Ver, no Apêndice 3, uma demonstração da igualdade acima com recursos da geometria.

O raciocínio, válido para contagens de passos, vale também em caso de fatores com números isoladamente considerados, isto é, números não vinculados a contagens. 

A multiplicação com dois fatores negativos não ocorre no nosso quotidiano, pelo fato de que não há “número de vezes” negativo; ninguém pode cobrar de outrem uma dívida de “menos cinco vezes” o aluguel devido ou receber “menos três vezes” uma dúzia de maçãs.

Segundo caso: multiplicação dentro de uma equação:

Seja o caso de efetuar a multiplicação

P = - 5 (7 - x),

que ocorra num desenvolvimento algébrico (no interior de uma equação, por exemplo). É evidente que x é uma contagem de passos ou de módulos, ou mesmo uma quantidade física, tanto quanto 7. Ou então 5, x e 7 são números isolados de uma equação lúdica. Em qualquer dos casos, 5 é o multiplicador, que não pode ser negativo.  Logo, o que se quer calcular é a imagem de 5 (7 - x).

P = - (5 (7 - x)) = 

imagem de (5 (7 - x)) = 

imagem de (35 – 5x) = 

5x - 35

Um “número negativo” elevado à potência “n”

A imagem de uma contagem (isto é, um “número negativo”) não pode ser a base de nenhuma potência, dado que não pode atuar como multiplicador. Ou seja, não é possível elevar um “número negativo” ao quadrado, ao cubo etc.

Como então interpretar e proceder, se numa operação algébrica com polinômios surgir uma expressão como (-a) ⁿ? Resposta: (-a) ⁿ é igual a (-a) multiplicado por (a)^(n-1), com resultado positivo, se “n” for 2, e resultado negativo, se “n” for 3. De fato, uma multiplicação de caráter acidental, somente possível com contagens de passos, relevante na geometria, no trato com polinômios do segundo e do terceiro graus. Ou com números isolados, nos polinômios de caráter lúdico.

Seja calcular x², para x = - 11, e x³, para x = - 5:

x² = (- 11)² = - (11) x (- 11) = - ( -121) = + 121

x³ = (- 5)³ = - - (5)² x (- 5)   = - - (25) x (-5) = - 125

Observação

Um “número negativo” nunca resulta de uma raiz quadrada porque “números negativos” (imagens) não têm quadrado.

Equações

É importante o entendimento de que "equação" é o confronto de duas somas algébricas de contagens construídas para serem iguais, uma das quais, ou ambas, contendo uma contagem desconhecida, que se quer conhecer, designada pela letra “x” e denominada “incógnita”.

É um mecanismo desenvolvido caso a caso para a resolução de problemas aritméticos.

As equações que envolvem contagens de módulos são as “equações que importam” ou "prestantes" e as que envolvem números isolados são as “equações lúdicas”. No caso geral, sejam “equações que importam” ou “lúdicas”, existe um único “x”, desconhecido, que se pretende descobrir. Ressalve-se o caso da chamada equação do segundo grau, que é na verdade uma equação ambígua do primeiro grau, lúdica, com duas possibilidades e duas soluções interligadas. Ver Apêndice II.

Uma equação que importa, a de contagens de módulos, sempre tem de incluir duas contagens: uma incógnita x e um termo independente de x. Não existe equação sem termo independente de x.

As equações de contagens de módulos são relevantes em matemática, enquanto as de números isolados são apenas lúdicas. Por que lúdicas? Porque a princípio despertam interesse restrito, meramente recreativo, sem aplicação na vida real. Qual a utilidade, que não lúdica, de encontrar números isolados e sem nenhuma conexão com a realidade, ou seja, números que nada significam? Podemos, por exemplo, construir uma equação e descobrir que os três “números” consecutivos que somam 141 são 46; 47; e 48, mas não há nenhuma utilidade, que não recreacional, nessa resposta.

A equação envolvendo números isolados pode ser de qualquer grau, desde que resulte de uma igualdade imposta a duas somas algébricas a partir de um problema proposto. No entanto, não é fácil construir equações de grau maior que um. Se, não obstante, puderem ser construídas, outro problema será resolvê-las.

A única equação de grau superior que se conhece é a equação lúdica, do segundo grau, necessária para encontrar “dois números de soma S e produto P”. Um caso excepcional de equação com duas incógnitas, que, não obstante, corresponde na verdade a uma equação do primeiro grau abrigando duas versões imbricadas por uma questão de simetria.

Seja agora comentar sobre a dica de multiplicar “(x - a)” por “(x - b)” por “(x - c)” etc., “n” vezes, e igualar o resultado a zero para obter uma “equação” de grau “n”, com “n” “raízes”. Trata-se de uma equação falsa, pois não foi erigida impondo igualdade a duas somas algébricas de contagens. O polinômio lúdico obtido é certamente igual a zero para x = a, para x = b, para x = c, e assim por diante, mas encontrar essas "raízes" é exercício tedioso, certamente inútil, de enxugamento de gelo.

Ressalte-se, ainda uma vez, que a equação é uma igualdade imposta a duas somas algébricas de contagens, nas quais existe um termo desconhecido, designado pela letra “x” e denominado “incógnita”. Se a incógnita for uma contagem de módulos, a equação é necessariamente do primeiro grau porque uma contagem de módulos não pode ser multiplicada por outra contagem de módulos ou elevada a qualquer potência.

Polinômios

Assim como a contagem de módulos serve à aritmética, a contagem de passos serve à geometria, da qual um dos instrumentos é o polinômio, uma espécie de fórmula para estudar linhas, figuras, sólidos e suas relações.

Os "polinômios que importam" operam com contagens de passos e suas duas unidades derivadas (passo, passo² e passo³) e podem ser de primeiro, segundo e terceiro graus.

Se o polinômio for do primeiro grau, é uma contagem de passos; se do segundo grau, uma área; se do terceiro grau, um volume. Todos os polinômios de grau acima de três são lúdicos.

O polinômio é uma fórmula, não um confronto de somas algébricas de contagens, e nesta condição o seu valor pode corresponder a todo e qualquer valor de “x”, arbitrariamente escolhido. Diversamente, o “x” de uma equação é único e responde a um problema proposto. Igualado um polinômio a zero, a igualdade resultante corresponde aos pontos nos quais ele se anula, não dando surgimento a uma equação. 

Matemática na ciência

A ciência tem regras especiais para a matemática e impõe caso a caso suas fórmulas e unidades. A física indica, por alguma fórmula, se a expressão numérica de uma propriedade física pode ser multiplicada por si ou pela expressão numérica de outra propriedade física. Por exemplo, números e unidades estão envolvidos na fórmula da lei da gravidade, na qual a expressão numérica de uma força, em newtons, resulta de cálculos com expressões numéricas em metros e quilogramas:

F = G. m₁.m₂ / r²

F = força gravitacional, em "newtons", n

m₁ e m₂ = massas, em “quilogramas”, k

 r = distância, em “metros”, m

G = constante de gravitação universal, em “(n.m² / k²)”, unidade gerada pela fórmula.

Outro ponto de interesse é que a física é livre para elevar suas propriedades a qualquer potência. Por exemplo, a lei de Stefan-Boltzmann estabelece que a potência emissiva (e) do corpo negro é proporcional à quarta potência de sua temperatura absoluta (T):           

e= c.T⁴                                                                 

e = potência emissiva, em “watt/m²”

T = a temperatura absoluta, em “graus Kelvin.”

c = constante de proporcionalidade, em unidades derivadas da fórmula.

CONCLUSÕES

As operações matemáticas relativas a equações e polinômios devem ser feitas com expressões numéricas de contagens, envolvendo nos cálculos os números e as unidades das contagens. O número é neutro. Não existem números positivos, negativos ou imaginários.

As expressões numéricas que resultam de somas algébricas (as contagens de módulos e as contagens de passos), estas sim, podem ser positivas ou negativas.

Uma contagem negativa corresponde à sua imagem; uma contagem (positiva) é a imagem da sua imagem. Subtrair uma contagem é adicionar sua imagem à soma algébrica; subtrair a imagem de uma contagem é adicioná-la à soma algébrica.

A multiplicação é, numa soma algébrica, um mecanismo que permite adicionar, como única parcela, a mesma contagem um “número de vezes” a que se chama de multiplicador. O entendimento do que seja uma multiplicação e de suas limitações é fundamental nas decisões e nos processos matemáticos.  

Não há multiplicação com multiplicadores negativos. Dois fatores negativos são um acidente algébrico no âmbito de operações algébricas, ensejando resultado positivo, como imagem de um produto negativo. A imagem de uma contagem não pode ser potenciada, pois não há multiplicador negativo. Não existe, pois, raiz quadrada de “número negativo”. Tampouco existem "números imaginários".

As equações são uma ferramenta da aritmética. As “equações que importam”, construídas necessariamente com contagens de módulos, são sempre do primeiro grau. As equações com números isolados são lúdicas e, se possível construí-las, podem ser de qualquer grau. Os polinômios são uma ferramenta da geometria; os “polinômios que importam”, construídos com contagens de passos, podem ser de primeiro, segundo e terceiro graus.

A "fórmula" de Bhaskara é a junção de duas fórmulas que podem ser demonstradas pela geometria e serve para extrair as raízes de um trinômio do segundo grau. Essas raízes são passos, como todos os pontos do trinômio.

A equação do "segundo grau" é na verdade uma equação do primeiro grau com duas versões, cada uma com uma incógnita numericamente igual a seu multiplicador. Esse entendimento teria evitado muita confusão na matemática; um exemplo foi a insólita criação dos números imaginários.

APÊNDICE I

O trinômio do segundo grau

O trinômio do segundo grau é a fórmula geométrica da parábola

y = ax² + bx + c

Ver, na figura 1, que cada ordenada y* corresponde a dois pontos simétricos da parábola, cujas abscissas são x*₁ e x*₂.

Figura 1

As raízes da parábola (x₁ e x₂₎ podem ser calculadas usando a fórmula de Bhaskara, x₁ e x₂ = (- b ± √ (b²- 4ac)) /2a, que assim se pode demonstrar: 

y = ax² + bx + c     

y´= 2ax + b (derivada primeira). O ponto M, de ordenada mínima (que corresponde a y' = 0) e abscissa x_m, é a referência para a simetria da parábola.

x_m = - b/2a

x_m dista “d” das raízes x₁ e x₂.

x₁ = x_m – d = - (b + 2ad) /2a

x₂ = x_m + d = - (b - 2ad) /2a

Cálculo de x₁

ax₁² + bx₁ + c = 0

Substituindo, na equação acima,

 x₁ por - (b + 2ad) / 2a e desenvolvendo, temos

x₁ = (- b - √ (b² - 4ac)) /2a                 (1)

Cálculo de x₂

x₂² + bx₁ + c = 0

Substituindo, n\a equação acima,

 x₂ por - (b + 2ad) / 2a e desenvolvendo, temos

x₂ = (- b - √ (b² - 4ac)) /2a       

x₂ = (- b + √ b² - 4ac)) /2a                 (2) 

Englobando (1) e (2), temos a fórmula de Baskhara

(= (- b ± √ b² - 4ac)) /2a

Observação importante: a ocorrência de (b² - 4ac) menor que zero implica raiz quadrada impossível, indicando que a parábola não possui raízes, por estar totalmente acima ou totalmente abaixo do eixo dos “x”, como nas duas representações da Figura 2.

 

Figura 2

APÊNDICE II

A equação de segundo grau

O trinômio y = x² - 5x + 6, se igualado a zero, permite calcular os pontos em que se anula a parábola que lhe corresponde, ou seja, suas raízes são 2 e 3, como vimos no Apêndice I. Esse cálculo pode ser feito com o recurso geométrico da fórmula de Baskhara.

Vejamos, por outro lado, o que acontece quando tentamos resolver a seguinte questão: calcular dois números, x₁ e x_2, de soma 5 e produto 6. A qual nos leva a multiplicar “x” por (5-x) e igualar o resultado a 6, ou seja, construir a equação lúdica: x² - 5x + 6 = 0, construída, portanto, com números isolados.

A igualdade x² - 5x + 6 = 0 é, desse modo:

- Na geometria: uma equação do segundo grau falsa, que resulta de um polinômio igualado a zero. Os valores envolvidos são contagens de passos ou de seus quadrados.

- Na aritmética: uma equação do segundo grau lúdica, mas real, que resulta de da combinação de dois confrontos de informações para resolver um problema proposto. Não se trata propriamente de uma equação a exprimir um único confronto, mas de uma fusão de duas equações, a saber, x₁ + x₂= 5 e x₁. x₂ = 6. 

É possível encontrar x₁ e + x₂ com recursos aritméticos. São dois números isolados cuja soma é 5 e o produto é 6. Calculando x₁, teremos x₂= 5-x₁. 

Para calcular x_1, façamos x₁ = j + k, com j ≠ 0 e k ≠ 0

x₁² - 5x₁ + 6 = 0                    (1)

Se x₁ = j + k, então 

x₁² ₌ (j + k) ² = j² + 2jk + k²         e 

- 5x₁ = - 5j -5k, 

de modo que, substituindo em (1), temos 

j²+ 2jk + k² - 5j -5k + 6 = 0

Rearranjando

(2jk - 5k) + (j² + k^2- - 5j + 6) = 0    

Para garantir a nulidade acima, basta que

(2jk - 5k) = 0 (primeira parcela)

e

 (j² + k^2- - 5j + 6) =0 (segunda parcela)

               Primeira parcela calcula j

(2jk - 5k) = 0     

k ≠ o

k (2j - 5) = 0      

j = 5/2 = 2,5

              Segunda parcela calcula k

(j² + k² - 5j + 6) = 0

(j² + k² - 5j + 6) = 0

j = 2,5

(2,5)2 + k²- 5 x 2,5 + 6= 0

k = ½

              Valor de x₁

x₁ = j + k = 5/2 + ½ = 3  

Valor de x₂

 x₂= 5 –x₁ = 2

Obtivemos desse modo os valores de x₁ e x₂ com recursos aritméticos, sem recorrer à formula de Bhaskara.     

Elucubração final sobre a equação do segundo grau

A equação do "segundo grau" é na verdade uma equação do primeiro grau que abriga duas versões diferentes, cada uma com uma incógnita numericamente igual ao seu multiplicador.

Com efeito, consideremos a equação ax² + bx + c = 0. A equação parece do segundo grau, mas é na verdade do primeiro grau porque nela x² é o produto de um “número de vezes” x* por um número isolado x, ou seja, um número isolado multiplicada por um número de vezes de igual valor quantitativo. Não se trata, de fato, de um quadrado. A fusão das duas equações (x₁ + x₂ = 5   e x₁.x₂ = 6) resultou numa equação do primeiro grau que serve à obtenção de duas incógnitas e nesse mister utiliza em ambas as versões sua soma S e seu produto P. 

x*₁. x₁ - Sx₁+ P = 0, 

x*₂. x₂ - Sx₂ + P = 0, 

Primeira versão da equação do primeiro grau presente na equação x² - 5x + 6 = 0

2x₁ - 5x₁ + 6 = 0                          x₁= 2

Segunda versão da equação do primeiro grau presente na equação x² - 5x + 6 = 0

3x₂ - 5x₂ + 6 = 0                          x₂ = 3

APÊNDICE III

O objetivo aqui é mostrar geometricamente por que é positivo o produto de dois fatores negativos. Assumindo, por exemplo, que (x - a) e (x - b) sejam os lados do retângulo A₁, o cálculo de sua área, (x - a) versus (x - b), desdobra-se numa soma algébrica em que uma das parcelas é o produto (-a) x (-b), como abaixo:

A₁ = (x - a) x (x - b) = x² - ax - bx + (- a) x (- b)                       (Relação I)

Seja o quadrado de lado “x” e área A, Figura 3. Dividamos o lado inferior desse quadrado nas parcelas "a" e “(x - a)”, e o lado adjacente esquerdo, nas parcelas  “b” e (x – b)” e (x – b).

                                                 Figura 3                                                         

O quadrado de área A fica assim repartido em quatro retângulos, com áreas A₁, A₂, A₃ e A₄, de forma que:

A = A₁ + A₂ + A₃ + A₄          

_{(A = área do quadrado externo)} 

A₁ = A - A₂ - A₃ - A_{4 ("produto")}           

Ver que:

A_{1 = área do retângulo considerado inicialmente = (x - a) x (x - b)).}

A = + x²

A₂ = + ax - A₄

A3 = + bx - A₄

A₄   = + ab

Ao substituir no "produto" os valores, como acima, de A, A_2, A₃ e A₄, 

obtemos

A₁= + x² - (+ ax - ab) - (+ bx - ab) - ab 

A₁=x² - ax - bx + ab                                                                                    (Relação II)

A₁ (Relação I) = A₁ (Relação II), resultando:

(-a) x (-b) = + ab                         

Ou seja, (-a) x (-b) iguala-se a +ab em decorrência e como resultado de uma sucessão de operações necessárias para recuperar uma contagem que de outro modo seria indevidamente subtraída do produto (x - a) x (x - b).

Assim se explica como o produto dos dois fatores negativos resultou positivo e ajuda a entender por que “menos multiplicado por menos dá mais”, em linha com o entendimento de que a multiplicação com dois fatores negativos, (- a) e (- b), gera a imagem de um produto negativo, (- (- ab)), isto é, um resultado positivo (+ ab).

Nunca será demais lembrar que a multiplicação com dois fatores negativos é uma consequência no âmbito de operações algébricas, mas nunca em eventos da vida real. Cabe lembrar que, no exemplo acima, estamos na verdade multiplicando (x - a) por (x - b), e não (- a) por (- b).