Proposições indecidíveis

Paradoxo do mentiroso

Alguém declarou: “sou mentiroso.”

- Esse cujo disse uma verdade ou uma mentira?


Impossível saber. Verdade não pode ser, pois contrariaria o que a própria frase está a dizer. Também não pode ser mentira, pois esta paradoxalmente transformaria o mentiroso num não-mentiroso. Um enunciado desse tipo configura uma proposição indecidível, conhecida como "paradoxo de Creta" ou "paradoxo do mentiroso", que vem sendo estudada desde os pré-socráticos.

Autoalusão


Há enunciados que se autocontradizem, como nos cinco exemplos a seguir:

É proibido proibir.

Não tolerarei erros hortográficos.

Acentue todas as proparoxitonas.

Toda generalização é despropositada.

Fabricamos o sorvete Sem Nome

Erros lógicos

Um professor escreveu no quadro-negro: “esta frase contém seis palavras”. Os alunos perceberam que o enunciado estava errado, pois a frase na verdade tem cinco palavras.

- Professor, houve um erro de contagem.

Chamado a corrigir a frase, um aluno acrescentou-lhe um “não”, de maneira a alterar o enunciado para “esta frase não contém seis palavras”.

- A frase permanece no erro, observou o professor, pois, com o acréscimo que você fez, passou a ter realmente seis palavras. Eu tinha errado na contagem. Você errou porque conferiu poder absoluto às palavras, esquecendo-se da lógica.

Paradoxo de Russell

Bertrand Russell

Alguém narrava para Bertrand Russell que, numa pequena cidade da Espanha, todos os homens andavam sempre muito bem barbeados; o único barbeiro da cidade barbeava todas as pessoas que não se barbeavam a si próprias, e mais ninguém.

- Isso não é possível, disse o filósofo, pois o barbeiro não podia andar barbeado sem que ninguém o barbeasse!

- Barbeio todos os que não se barbeiam a si próprios, e somente estes...
- Então você deveria ser barbudo...

De fato, a primeira informação inclui o barbeiro entre os barbeados: "todos os homens da cidade andam sempre muito bem barbeados". Mas a segunda o exclui dessa condição, ao informar que "o citado barbeiro barbeia todos os da cidade que a si não se barbeiam, e mais ninguém". Como o barbeiro não pode ao mesmo tempo "ser barbeado" e "não ser barbeado", segue-se que não há resposta possível para a questão "quem barbeia o barbeiro?"

Repercussão na Matemática

As autoalusões e proposições indecidíveis tiveram importante repercussão no desenvolvimento da Matemática, sobretudo na teoria dos conjuntos e no reconhecimento de que há verdades matemáticas que não podem ser demonstradas.