ÚLTIMO TEOREMA DE FERMAT (1/2)

PIERRE DE FERMAT

Filho de um próspero negociante de peles, Pierre de Fermat nasceu em 20 de agosto de 1601, na cidade de Beaumont-de-Lomagne, no sudoeste da França. Após estudar num Convento Franciscano, Fermat freqüentou a Universidade de Toulouse, mudando-se a seguir para Bordeaux e depois para Orleans, onde se formou como advogado. Em 1631 tornou-se Conselheiro da Câmara de Requerimentos do Parlamento de Toulouse, dedicando-se a prestar serviços como juiz. Morreu na cidade francesa de Castres, em 1665.

Fermat

Sempre pode ocorrer a um juiz ter de julgar causas de eventuais amigos e, para fugir desse constrangimento, Fermat preferia viver isolado, para não fazer amigos. Era um gênio retraído, que falava fluentemente Francês, Italiano, Espanhol, Latim e Grego, e dedicava seu lazer à matemática, formulando ou decifrando quebra-cabeças, com uma eficiência tão grande que E. T. Bell chamou-o muito adequadamente de "o príncipe dos amadores".

Fermat não gostava de falar de si próprio, nem se interessava em publicar seus estudos, tendo certa vez dito para Blaise Pascal:

- Eu não quero meu nome associado a nenhum dos meus trabalhos.

Divertia-se com discutir suas descobertas por correspondência com outros matemáticos, entre os quais Beaugrand, Carcavi, Brulart de Saint Martin, Mersenne, Roberval, Pascal, Huyghens, Descartes, Frénicle, Gassendi, Lalouvere, Torricelli, Digby e Wallis. Provocava-os com problemas difíceis, cuja solução dizia possuir.
No final de sua vida Fermat chegou à conclusão de que teria sido mais útil à humanidade se tivesse escolhido a matemática por profissão, e, antes de morrer, declarou:

- Valha-me Deus, pois não fui ninguém.

Gênio e disputas

Não obstante esse juízo auto-depreciativo, Fermat está incluído na categoria dos gênios: estabeleceu os fundamentos da Geometria Analítica, ao mesmo tempo que Descartes, construiu, em estreita colaboração com Blaise Pascal, as bases do Cálculo das Probabilidades, desenvolveu um método para cálculo de máximos, mínimos e tangentes de linhas curvas, resolveu inúmeros problemas de cálculo numérico e deu importante contribuição à Física, seja estudando a trajetória dos corpos em queda livre ou estabelecendo os princípios da ótica geométrica.
Isaac Newton, que algumas décadas mais tarde desenvolveu os fundamentos do cálculo infinitesimal, afirmou, em nota encontrada por Louis Trenchard Moore em 1934, que baseou seus estudos no “método do senhor Fermat para resolver os problemas das tangentes.”
Fermat feriu susceptibilidades e angariou inimigos poderosos. Um deles foi o próprio Descartes, para quem o trabalho de Fermat sobre máximos, mínimos e tangentes empanava o brilho da sua “Geometria Analítica”, que anunciara como prova da validade do “Discurso sobre o Método”. Como se isso não bastasse, Fermat viu erros em trabalhos de Descartes sobre a lei da refração da luz. A reação de Descartes foi investir contra o método de Fermat para obter máximos, mínimos e tangentes e contra seus estudos sobre a ciclóide, além de tachá-lo de “fanfarrão”. Os matemáticos importantes ficaram divididos entre Descartes e Fermat, com tendência favorável a Descartes, que era uma celebridade nos campos da ciência e da filosofia, enquanto Fermat não passava de um intruso diletante.

O famoso teorema

Diophantus de Alexandria, que viveu por volta do Século II, é considerado um dos maiores matemáticos de todos os tempos, e seu livro, "Aritmética", equivale em importância aos "Elementos", de Euclides. Infelizmente, porém, apenas seis dos seus treze volumes sobreviveram à tragédia da Biblioteca de Alexandria.

Aritmética, de Diophantus

Fermat estudou teoria dos números na versão latina do livro de Diophantus, preparada por Claude Gaspar Gachet de Méziriac, edição de 1631, rabiscando em suas margens observações que iriam dar um novo impulso à matemática. Muitas dessas notas só se tornaram conhecidas após a morte de Fermat, publicadas em 1670 por seu filho Clément-Samuel, numa compilação que recebeu o título de “Varia Opera Mathematica”.
Uma dessas observações constitui o Último Teorema de Fermat. Trata-se de um enunciado que, expresso em termos familiares, estabelece que você pode encontrar um quadrado que seja a soma de dois quadrados, e contente-se com isso, pois nunca encontrará um cubo que seja a soma de dois cubos, um número à quarta potência que seja a soma de dois números cada um dos quais elevado à quarta potência, e assim por diante.

- A igualdade xⁿ + yⁿ = zⁿ nunca será possível para n maior que 2.

Para n=1, a igualdade se reduz a uma soma de números inteiros, sempre possível. Para n=2, configurando uma soma de dois quadrados igual a um terceiro quadrado, essa possibilidade existe até como conseqüência do Teorema de Pitágoras, conhecido desde a Antigüidade, pelo qual, num triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. Por exemplo, 25, que é o quadrado de 5, é igual à soma de 16, que é o quadrado de 4, e de 9, o quadrado de 3. Não por outra razão, um triângulo retângulo pode ser construído com hipotenusa 5 e catetos 3 e 4. Da mesma forma, 169 é a soma de 144 e 25, sendo os três números, pela ordem, quadrados de 13; 12; e 5, respectivamente hipotenusa e catetos de um triângulo retângulo.
Fiquemos por aí, diz o teorema de Fermat, pois a igualdade nunca se verifica para n maior que 2. Foi nas margens do Livro II da "Aritmética", de Diophantus, que Fermat escreveu:

- Eu tenho uma esplêndida demonstração para essa proposição, que infelizmente não cabe nesta pequena margem.

Em busca da demonstração

Gauss

Todo teorema tem a sua demonstração, e enquanto esta não for obtida, a proposição envolvida não passa de uma conjectura. Como classificá-la, porém, em caso de demonstração existente, mas desconhecida, como a de Fermat? Reproduzir a perdida demonstração de Fermat, convalidando a impossibilidade por ele suscitada, passou a ser uma obsessão dos matemáticos, muitos dos quais interessados nos prêmios honoríficos, além de 3.000 francos que no Século XIX a Academia Francesa de Ciências oferecia a quem encontrasse a solução.

Evariste Galois

Entre os matemáticos que tentaram demonstrar o Teorema, estão nomes ilustres, como Euler, Legendre, Dirichlet, Christian Goldbach, Sophie Germain, Gabriel Lamé, Augustin Cauchy, Ernst Kummer e o jovem Evariste Galois, que morreu num duelo, em 1832, segundo se diz após passar a noite tentando encontrar a demonstração do teorema. O alemão Carl Friedrich Gauss, considerado por muitos o maior de todos os matemáticos, dizia não ter interesse no Último Teorema de Fermat, embora alguns historiadores suspeitem de que, secretamente, ele tentou obter a sua demonstração.
(continua)