DE REPENTE, NO TEXAS

CECÍLIA

Universidade do Texas (Austin)

Era a minha primeira aula na Universidade do Texas. O professor Burford, comentando o teste de admissão, revelou que dois alunos haviam se confundido na interpretação da terceira questão. Pelo mesmo e prosaico motivo: dificuldades com o idioma inglês. Ambos brasileiros, ambos recém-chegados a Austin.

- Um deles é este aqui, disse Burford, apoiando a mão sobre o meu ombro, e ele se chama Carlos Auvergne de Carvalho. The quick brown fox jumps over the lazy dog e, não obstante, o senhor não sabe o significado de dummy variable. Veja só!

Um vexame que nem cheguei a padecer, pois o professor, deslocando-se para o outro lado da sala, apontou para a bela jovem de calça jeans e casaco branco. Foi naquele momento que a vi pela primeira vez.

- Cecília, Cecília Lafayette de Castro.

O aplauso de toda a turma era uma demonstração de solidariedade, que ela agradecia cheia de modéstia, mas com sorriso cativante. Sem dúvida, um tributo à sua extraordinária beleza, pois, se assim não fosse, teriam me aplaudido também, por que não?

Cecília

A consequência é que já não estava só naquele mundo estrangeiro, cujo sotaque decifrava com dificuldade e ouvido incompetente. No Union´s, o restaurante do campus universitário, ela me explicou que era arquiteta por formação, mas tinha a ambição de ser estilista.

- The quick brown fox jumps over the lazy dog, o que Burford quis dizer com isso?

- A ligeira raposa marrom salta sobre o cão preguiçoso. É uma frase que contém todas as letras usadas no idioma inglês, utilizada nos testes relacionados com as máquinas de telégrafo. Essa frase faz parte do show do Burford, que viu em nós, estrangeiros, o pretexto para dizer que a língua inglesa se espalha galhardamente por aí, em todas as bibliotecas do mundo, usando não mais que escassas 26 letras. Daí a estranheza com alunos graduados que não sabem o que é dummy variable. Já pensou na tragédia que será alguém morrer sem saber o significado de dummy variable?

- Ou seja, isso de não saber inglês é pura negligência... Devemos reconhecer, todavia, que foi carinhoso conosco, pois, seja como for, fomos apresentados à turma.

- Sem dúvida... Mas, voltando à raposa, será que o Burford sabe português? São também 26 letras, as mesmas, se não estou enganada.

- Suficientes para escrever os Lusíadas.

- E as crônicas do Rubem Braga...

- Mudando de assunto, Cecília, por que uma estilista tem de estudar estatística?

- Porque trabalha com moda.

- Um trocadilho?

- Não, não mesmo. Onde você acha que os estatísticos foram buscar a sua noção de moda? A moda, a das roupas, tem tudo a ver com amostragem, média, mediana, momentos, desvio padrão...

- É, basta ter uma distribuição de frequências.

Moda, mediana e média

- E você, por que está aqui, na Universidade do Texas?

- Bem, sou engenheiro recém-formado e cumpro um treinamento de três meses, a serviço da WED.

- WED?

- Sim, W-E-D, Western Energy Development.

Cecília e eu decidimos estudar juntos e, entre histogramas, regressões e números-índices, tive a percepção de que estávamos construindo uma parceria vitoriosa, que iria para além de uma primavera universitária no Texas. Acertei, pois logo estávamos namorando, e morando juntos, perfeitamente integrados um ao outro. Terminado o curso, visitamos Nova Orleans, San Francisco e Nova York, antes de voltar para o Rio de Janeiro.

- Se você quiser, Cecília, podemos duas coisas.

- Acho que podemos mais do que duas coisas, Carlinhos.

- Sim, mas quero me referir a duas delas, muito específicas e fundamentais. A primeira é estabelecer um binômio para nós: lealdade e generosidade.

- Muito justo e pertinente. E a outra?

- É a gente se casar, assim que chegarmos ao Brasil.

CORA CORALINA

Oração do Milho

Sou a broa grosseira e modesta do pequeno sitiante.
Sou a farinha econômica do proletário.
Sou a polenta do imigrante e a miga dos que começam a vida em terra estranha.
Alimento dos porcos e do triste mu de carga.
O que me planta não levanta comércio, nem avantaja dinheiro.
Sou apenas a fartura generosa e despreocupada dos paióis.
Sou o cocho abastecido donde rumina o gado.
Sou o canto festivo dos galos na glória do dia que amanhece.
Sou o cacarejo alegre das poedeiras à volta dos seus ninhos.
Sou a pobreza vegetal agradecida a Vós, Senhor, que me fizestes necessário e humilde.
Sou o milho.

Cora Coralina (1889-1985)

A IMAGEM DO UNIVERSO (8/n)

A flecha que voa, mas não voa

Tales, Anaximandro, Anaxímedes, Heráclito, Pitágoras, Filolau, Empédocles e Demócrito são considerados tanto cientistas quanto filósofos, caracterizando uma época em que a Física se identificava com a Filosofia, tanto que por muito tempo foi chamada de Filosofia Natural.

Zenão de Eléia

Parmênides de Eléia
Na fase pré-socrática, houve, porém, filósofos que não são arrolados por nenhum fato científico específico, como são os casos de Parmênides (cerca de 530 - 460 a.C.) e seu discípulo Zenão (cerca de 504- 430 a. C.), ambos de Eléia (atual cidade italiana de Vélia).
Parmênides, que escreveu um poema filosófico,“Sobre a Natureza”, preocupava-se em provar a superioridade racional do mundo e em negar a veracidade das percepções sensoriais, opondo-se ao dualismo pitagórico (ser e não-ser, cheio e vazio, claro e escuro... ) e à fluidez defendida por Heráclito.
O poema, na primeira parte, trata da verdade, e, na segunda parte, da opinião:

"Verdade é a convicção baseada em argumentações racionais, ainda que estas pareçam estar em desacordo com a percepção dos nossos sentidos; opinião é a crença em dados percebidos pelos nossos sentidos, mesmo que nos pareçam certos e evidentes."

Aforismos de Parmênides

“O que é, é; o que não é, não é.”

“O não-ser não é jamais pensável.”
ou
“É impossível pensar o nada; logo, a escuridão e o silêncio não existem.”

Vélia, Itália: antiga Eléia

Movimento

Zenão especializou-se em defender os pensamentos de Parmênides, basicamente negar o que dizem os nossos sentidos. Não existe o movimento, entendido como a passagem de um corpo da situação de “estar em um lugar” para a de “não-estar-mais naquele lugar”, assim como não existem o tempo, a velocidade e o espaço.
Respondia aos críticos com argumentos que mostravam as contradições do pensamento objetivo, mediante aporias (becos sem saída) e paradoxos. A seguir, dois argumentos de Zenão contra o movimento:

(1) Suponhamos que um móvel, saindo do ponto A, se destine a atingir o ponto B. Tarefa impossível! Pois, antes de atingir B, o móvel deve atingir a metade da distância entre A e B, o ponto C; antes de atingir C, o móvel deve atingir a metade do caminho entre A e C; e assim sucessivamente, até o infinito. Ou seja, o móvel não pode cumprir o depois, que é chegar ao ponto B, porque tem infinitas tarefas a cumprir. Infinitas!

(2) Um objeto está em repouso quando ocupa um espaço igual às suas dimensões. Logo, uma flecha que voa está em repouso, porque, no vôo, a flecha ocupa em qualquer instante um espaço igual às suas dimensões.

Paul Valery

Os paradoxos de Zenão foram considerados extremamente sutis por Bertrand Russell (um especialista, criador do famoso "paradoxo de Russell"), e alguns filósofos chegaram a afirmar que não podem ser resolvidos. Paul Valery (1871-1945), um poeta que tinha interesse em música, matemática e filosofia, também se encantou com os jogos intelectuais de Zenão. No seu celebrado poema “Le cimetière marin”, Valery invoca o paradoxo da flecha em admiráveis versos decassílabos:

Zénon! Cruel Zénon! Zénon d'Êlée!
M'as-tu percé de cette flèche ailée
Qui vibre, vole, et qui ne vole pas!
Le son m'emporte et la flèche me tue!

(Zenão! Cruel Zenão! Zenão de Eléia!
Tu me feriste com esta flecha alada,
Que vibra, voa e todavia não voa.
O som me azucrina, e a flecha me mata!)

Absurdo

- Seu paradoxo não tem correspondência na realidade, disse um vizinho a Zenão. Todos sabemos que a flecha disparada sempre sai de um ponto e alcança outro, ou seja, há algo errado no seu raciocínio.

- Não basta apontar o absurdo, temos de explicá-lo. É o que faço nas minhas aporias, demonstrando que a pluralidade não existe e a mudança é impossível.

ÚLTIMO TEOREMA DE FERMAT (parte 2/2)

UM TEOREMA POPULAR


A história do Último Teorema assumiu um caráter de romance, quando o milionário alemão Paul Wolfskehl decidiu suicidar-se por causa de um amor não correspondido. Meticuloso e organizado, Wolfskehl programou dia e hora para o suicídio, pois não queria nenhuma pendência atrás de si. Consta que, tendo concluído todas as questões e acertado suas contas muito antes da hora planejada, o milionário dirigiu-se à biblioteca da sua mansão e pôs-se ociosamente a consultar alguns livros, de maneira aleatória e desinteressada, com a intenção de manter-se ocupado até a chegada do evento sinistro.

Paul Wolfskehl

Wolfskehel, que estudara matemática na universidade e até gostava de discutir teoria dos números com matemáticos profissionais, deparou naquele momento crucial com um estudo de Ernst Kummer sobre o Teorema de Fermat. Wolfskehl nele percebeu um erro de lógica, que decidiu emendar, e, ao fazê-lo, esqueceu-se completamente do compromisso que agendara com a morte. Horas depois, o suicídio já não lhe interessava, pois o desafio de demonstrar Fermat se tornara sua nova paixão e era razão suficiente para continuar vivendo. Si non è vero è ben trovato...
Quando faleceu, em 1908, Wolfskehl deixou reservado no seu testamento um prêmio em dinheiro, equivalente a cerca de um milhão de dólares atuais, a quem demonstrasse que o Último Teorema de Fermat era verdadeiro. Não seria concedido nenhum prêmio para quem demonstrasse que o teorema era falso, se este fosse o caso.
Antes buscada por matemáticos profissionais, a demonstração passou a interessar a pessoas de todas as atividades e qualificações, não só por causa do prêmio, tanto mais pela divulgação extensiva e, sobretudo, pela simplicidade do enunciado, que colocava a questão ao alcance do homem comum.


O Último Teorema tornou-se um tema corriqueiro, com uma avalanche de demonstrações equivocadas chegando todos os anos ao Comitê Wolfskehl, especialmente constituído sob custódia da "Königliche Gesellchaft der Wissenchaften" (Real Sociedade para as Ciências, situada em Göttingen) para examinar os trabalhos e outorgar ao vencedor o prêmio milionário.
Não obstante tanto interesse e participação, o Teorema de Fermat prosseguiu, varando décadas, sem ser demonstrado.

Kurt Gödel e Alan Turing

Gödel e Einstein
Em 1931 o matemático checo Kurt Gödel demonstrou que muitas afirmações matemáticas verdadeiras não são passíveis de ser provadas; são as chamadas afirmações indecidíveis ou não demonstráveis. A demonstração de Gödel derrubava a teoria sustentada pelo eminente matemático alemão David Hilbert de que toda verdade matemática pode ser provada a partir de axiomas básicos. Subitamente questionava-se sobre se o Último Teorema era uma afirmação matemática do tipo indecidível, o que equivaleria a dizer que Fermat se enganara quando pensou haver encontrado a sua demonstração e, o que era mais dramático, que durante trezentos anos os matemáticos teriam procurado por uma solução que não existia.
Alan Turing, matemático inglês que durante a Segunda Guerra Mundial iria se celebrizar por uma extraordinária capacidade de decifrar códigos militares, cogitou, em 1938, de uma máquina hipotética capaz de fazer cálculos de maneira ininterrupta, para testar as proposições matemáticas do tipo sugerido por Gödel, incluindo-se o Último Teorema de Fermat.

Turing

A Máquina de Turing, como ficou conhecida, poderia testar sucessivas e intermináveis trincas de números, só parando de calcular se a potência de um deles, de expoente inteiro maior que 2, igualasse a soma das potências de mesmo grau dos outros dois; se a máquina não parasse nunca, a proposição de Fermat seria indecidível; se parasse, a proposição de Fermat seria falsa.
Turing ajudou a construir em 1948 o primeiro computador do mundo gravado eletronicamente, inaugurando a fase em que os matemáticos envolvidos com o Último Teorema poderiam fazer milhões de contas numa fração de segundo. Antes, matemáticos com apenas suas idéias e, agora, matemáticos munidos de supercomputadores. Máquinas de Turing, na vida real...

Conjectura japonesa

A demonstração do Último Teorema, que parecia cada vez mais distante, tomou novo impulso quando dois matemáticos japoneses, Yutaka Taniyama e Goro Shimura, que atuavam fora do circuito oficial da matemática, apresentaram no simpósio internacional de Tóquio, em 1955, a conjectura de que a cada forma modular corresponde uma equação elíptica.
Formas modulares e equações elípticas são entidades complicadas para os mortais comuns, mas muito conhecidas dos matemáticos; em termos coloquiais, basta mencionar que a forma modular é uma construção cheia de simetria que os matemáticos conseguem enxergar a partir do espaço quadridimensional, enquanto as equações elípticas fazem a igualdade do quadrado de uma variável dependente com um polinômio do terceiro grau da variável independente. Como formas modulares e equações elípticas não pareciam relacionar-se, os matemáticos receberam essa conjectura com muita estranheza e cepticismo.

Yutaka Taniyama

Andrew Wiles

Aos poucos, no entanto, os mais perspicazes começaram a ver na "conjectura japonesa" um instrumento capaz de solucionar muitos problemas matemáticos não resolvidos. Na década de 1980, o alemão Gerhard Frey e o americano Ken Ribet provaram que a demonstração da conjectura deTaniyama-Shimura implicaria automaticamente a demonstração do Último Teorema de Fermat. Conjectura japonesa provada significa Último Teorema de Fermat verdadeiro, ora viva!

A façanha de provar a conjectura Taniyama-Shimura coube ao matemático inglês Andrew Wiles, professor da Universidade de Princenton, que estudou o problema secretamente durante vários anos; em 1993 Wiles anunciou que havia logrado obter a demonstração da conjectura Taniyana-Shimura, mas, ao apresentá-la, constatou-se uma falha numa das equações do seu desenvolvimento matemático. Wiles teve de voltar às suas equações por mais 14 meses, após o que o trabalho final foi publicado, totalmente corrigido, nos Annals of Mathematics, de maio de 1995, ganhando as páginas dos jornais de todo o mundo. Estava demonstrado o Último Teorema de Fermat!
Andrew Wiles embolsou o Prêmio Wolfskehl, que, após a hiperinflação alemã, se reduzira a cerca de 70 mil dólares.

Astyages Brasil e Posto Seis

Teria sido esse o capítulo final do Último Teorema?
Não é impossível que Fermat tenha se enganado quanto à validade da demonstração que declarou possuir, e, se isso aconteceu, foi apenas o primeiro a se enganar sobre seu Último Teorema, como os que se candidataram aos prêmios ou nem sequer tiveram fôlego bastante para fazê-lo; se de fato engano, um engano que teve numerosas e importantes conseqüências.
E se Fermat não se enganou?
Nesse caso a procura pela demonstração de Fermat estará ainda em aberto, pois é impossível que seja igual à de Andrew Wiles, que incorporou inúmeras técnicas matemáticas que Fermat não conhecia, muitas delas desenvolvidas, ao longo de 356 anos, exatamente nos trabalhos que visaram a encontrá-la.
Ou seja, temos a premiada demonstração de Wiles e a outra, chamemo-la de hipotética, que, menor e mais criativa, continuará a ser buscada por matemáticos e diletantes.
Astyages Brasil da Silva é um professor do Rio de Janeiro que busca uma oportunidade para propor uma alteração nos fundamentos da álgebra, que acredita irá mudar muita coisa em quase todos os ramos da matemática (resolução de equações, geometria analítica, trigonometria, cálculo diferencial, exponenciação e números complexos).
Recentemente (2005), Astyages publicou o livro "Um ensaio da matemática na era da unidade", no qual apresenta três demonstrações do Último Teorema de Fermat.
Não uma, mas três demonstrações!
Agora, é esperar para ver o que dizem os matemáticos: ou Astyages é mais um que naufragou diante de Fermat ou, quem diria, o Último Teorema foi demonstrado no Posto Seis, de Copacabana, Rio de Janeiro, Brasil.

A IMAGEM DO UNIVERSO (7/n)

O UNIVERSO PITAGÓRICO

Pitagóras e seus seguidores dividem o cosmos em duas regiões, uma sublunar, sujeita a transformações, e outra, supralunar, divina e incorruptível. Embaixo da Lua, o mundo caracteriza-se pelas alterações, movimentos violentos e trajetórias imperfeitas, sendo regulado por leis físicas, ou seja, seus fenômenos são determinados por causas naturais; acima da Lua, o que há é o mundo dos astros, divino, perfeito, dos movimentos circulares, invariável e eternamente igual a si mesmo.
Essa concepção será posteriormente assumida por Aristóteles, que considera o mundo sublunar composto pelos quatro elementos, terra, ar, fogo e água, da teoria de Empédocles. Para Aristóteles, na região supralunar os astros são constituídos do éter ou "quinta-essência".

As concepções dos Pitagóricos sobre o Universo enquadram-se nas suas idéias religiosas. Deus é um geômetra identificado com a perfeição, e esta se reflete na estrutura perfeita do mundo, de proporções matemáticas. Para eles, os sete “planetas” (aí incluindo-se o Sol e Lua) e a esfera das estrelas fixas giram em círculos, em torno da Terra, que permanece, imóvel, quieta, quieta, na sintaxe do Universo.
A idéia do círculo, assumida posteriormente por Platão, iria prevalecer até o advento das Leis de Kepler, estabelecendo diversamente e de maneira definitiva que os planetas não descrevem órbitas circulares, mas elípticas, tendo o Sol permanentemente como um dos focos.

A música celestial

Pitágoras entende que os planetas tocam uma música celestial, produzida por cordas sonoras definidas pelas distâncias planetárias, que os humanos (à exceção do próprio Pitágoras) não conseguem ouvir por estarem imersos na harmonia divina.
Os planetas "dançam" ao som dessa música. As relações musicais eram definidas da seguinte forma:

- entre a Terra e a Lua, o intervalo musical é de um tom;
- entre Marte e Júpiter, de um semitom;
- entre Júpiter e Saturno, de um semitom;
- entre Saturno e a esfera das fixas, de uma terça menor.

Música celestial

Além disso, na concepção pitagórica, as separações entre as órbitas planetárias obedecem a alguma lei matemática, a ser descoberta, idéia que perdurou por muitos séculos. O próprio Johannes Kepler descobriu as leis dos movimentos dos planetas quando fez uma quantidade formidável de cálculos, na tentativa de relacionar matematicamente suas distâncias com os cinco sólidos platônicos, cujas arestas formam polígonos planos regulares congruentes: tetraedero, cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro.
Os Pitagóricos também defendiam a esfericidade da Terra, pelo só motivo de que a esfera é perfeita, no que se valiam também dos relatos das observações dos navegantes de longo curso.

Filolau

Não obstante, o pitagórico Filolau decidiu tirar a Terra do centro do Universo. Dele sabe-se muito pouco: nasceu em Crotona, pelos meados do século V a. C., era médico e astrônomo e foi mestre de Demócrito e Arquitas. Escreveu um livro, do qual restaram poucos fragmentos, tratando-se do primeiro escrito sobre o pensamento pitagórico. Esse livro teria tido grande influência sobre Platão, que o adquiriu por quarenta minas.
Escreveu Filolau:

"Tudo que é conhecido tem número;
nada é possível pensar ou conhecer sem ele."

Filolau concebeu um sistema cosmológico em que a Terra não era imóvel, nem o centro do mundo. Para ele, a Terra "dança" pelo cosmos, tanto quanto a esfera das fixas e os sete "planetas" (incluídos o Sol e a Lua), ao redor de um fogo central (que chamou de Héstia).

Seu sistema tem, inicialmente, a Terra, mais sete "planetas" e mais a esfera das fixas, num total de nove astros. Para chegar a dez, número da perfeição, Filolau acrescentou um astro simétrico à Terra, a Antiterra, que não vemos porque gira com a mesma velocidade daquela, no lado oposto do fogo central.
Ao estudar posteriormente o sistema de Filolau, Platão abandonou a idéia da Héstia e da Antiterra, recolocando a Terra no centro do mundo e devolvendo-lhe a imobilidade.

ÚLTIMO TEOREMA DE FERMAT (1/2)

PIERRE DE FERMAT

Filho de um próspero negociante de peles, Pierre de Fermat nasceu em 20 de agosto de 1601, na cidade de Beaumont-de-Lomagne, no sudoeste da França. Após estudar num Convento Franciscano, Fermat freqüentou a Universidade de Toulouse, mudando-se a seguir para Bordeaux e depois para Orleans, onde se formou como advogado. Em 1631 tornou-se Conselheiro da Câmara de Requerimentos do Parlamento de Toulouse, dedicando-se a prestar serviços como juiz. Morreu na cidade francesa de Castres, em 1665.

Fermat

Sempre pode ocorrer a um juiz ter de julgar causas de eventuais amigos e, para fugir desse constrangimento, Fermat preferia viver isolado, para não fazer amigos. Era um gênio retraído, que falava fluentemente Francês, Italiano, Espanhol, Latim e Grego, e dedicava seu lazer à matemática, formulando ou decifrando quebra-cabeças, com uma eficiência tão grande que E. T. Bell chamou-o muito adequadamente de "o príncipe dos amadores".

Fermat não gostava de falar de si próprio, nem se interessava em publicar seus estudos, tendo certa vez dito para Blaise Pascal:

- Eu não quero meu nome associado a nenhum dos meus trabalhos.

Divertia-se com discutir suas descobertas por correspondência com outros matemáticos, entre os quais Beaugrand, Carcavi, Brulart de Saint Martin, Mersenne, Roberval, Pascal, Huyghens, Descartes, Frénicle, Gassendi, Lalouvere, Torricelli, Digby e Wallis. Provocava-os com problemas difíceis, cuja solução dizia possuir.
No final de sua vida Fermat chegou à conclusão de que teria sido mais útil à humanidade se tivesse escolhido a matemática por profissão, e, antes de morrer, declarou:

- Valha-me Deus, pois não fui ninguém.

Gênio e disputas

Não obstante esse juízo auto-depreciativo, Fermat está incluído na categoria dos gênios: estabeleceu os fundamentos da Geometria Analítica, ao mesmo tempo que Descartes, construiu, em estreita colaboração com Blaise Pascal, as bases do Cálculo das Probabilidades, desenvolveu um método para cálculo de máximos, mínimos e tangentes de linhas curvas, resolveu inúmeros problemas de cálculo numérico e deu importante contribuição à Física, seja estudando a trajetória dos corpos em queda livre ou estabelecendo os princípios da ótica geométrica.
Isaac Newton, que algumas décadas mais tarde desenvolveu os fundamentos do cálculo infinitesimal, afirmou, em nota encontrada por Louis Trenchard Moore em 1934, que baseou seus estudos no “método do senhor Fermat para resolver os problemas das tangentes.”
Fermat feriu susceptibilidades e angariou inimigos poderosos. Um deles foi o próprio Descartes, para quem o trabalho de Fermat sobre máximos, mínimos e tangentes empanava o brilho da sua “Geometria Analítica”, que anunciara como prova da validade do “Discurso sobre o Método”. Como se isso não bastasse, Fermat viu erros em trabalhos de Descartes sobre a lei da refração da luz. A reação de Descartes foi investir contra o método de Fermat para obter máximos, mínimos e tangentes e contra seus estudos sobre a ciclóide, além de tachá-lo de “fanfarrão”. Os matemáticos importantes ficaram divididos entre Descartes e Fermat, com tendência favorável a Descartes, que era uma celebridade nos campos da ciência e da filosofia, enquanto Fermat não passava de um intruso diletante.

O famoso teorema

Diophantus de Alexandria, que viveu por volta do Século II, é considerado um dos maiores matemáticos de todos os tempos, e seu livro, "Aritmética", equivale em importância aos "Elementos", de Euclides. Infelizmente, porém, apenas seis dos seus treze volumes sobreviveram à tragédia da Biblioteca de Alexandria.

Aritmética, de Diophantus

Fermat estudou teoria dos números na versão latina do livro de Diophantus, preparada por Claude Gaspar Gachet de Méziriac, edição de 1631, rabiscando em suas margens observações que iriam dar um novo impulso à matemática. Muitas dessas notas só se tornaram conhecidas após a morte de Fermat, publicadas em 1670 por seu filho Clément-Samuel, numa compilação que recebeu o título de “Varia Opera Mathematica”.
Uma dessas observações constitui o Último Teorema de Fermat. Trata-se de um enunciado que, expresso em termos familiares, estabelece que você pode encontrar um quadrado que seja a soma de dois quadrados, e contente-se com isso, pois nunca encontrará um cubo que seja a soma de dois cubos, um número à quarta potência que seja a soma de dois números cada um dos quais elevado à quarta potência, e assim por diante.

- A igualdade xⁿ + yⁿ = zⁿ nunca será possível para n maior que 2.

Para n=1, a igualdade se reduz a uma soma de números inteiros, sempre possível. Para n=2, configurando uma soma de dois quadrados igual a um terceiro quadrado, essa possibilidade existe até como conseqüência do Teorema de Pitágoras, conhecido desde a Antigüidade, pelo qual, num triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. Por exemplo, 25, que é o quadrado de 5, é igual à soma de 16, que é o quadrado de 4, e de 9, o quadrado de 3. Não por outra razão, um triângulo retângulo pode ser construído com hipotenusa 5 e catetos 3 e 4. Da mesma forma, 169 é a soma de 144 e 25, sendo os três números, pela ordem, quadrados de 13; 12; e 5, respectivamente hipotenusa e catetos de um triângulo retângulo.
Fiquemos por aí, diz o teorema de Fermat, pois a igualdade nunca se verifica para n maior que 2. Foi nas margens do Livro II da "Aritmética", de Diophantus, que Fermat escreveu:

- Eu tenho uma esplêndida demonstração para essa proposição, que infelizmente não cabe nesta pequena margem.

Em busca da demonstração

Gauss

Todo teorema tem a sua demonstração, e enquanto esta não for obtida, a proposição envolvida não passa de uma conjectura. Como classificá-la, porém, em caso de demonstração existente, mas desconhecida, como a de Fermat? Reproduzir a perdida demonstração de Fermat, convalidando a impossibilidade por ele suscitada, passou a ser uma obsessão dos matemáticos, muitos dos quais interessados nos prêmios honoríficos, além de 3.000 francos que no Século XIX a Academia Francesa de Ciências oferecia a quem encontrasse a solução.

Evariste Galois

Entre os matemáticos que tentaram demonstrar o Teorema, estão nomes ilustres, como Euler, Legendre, Dirichlet, Christian Goldbach, Sophie Germain, Gabriel Lamé, Augustin Cauchy, Ernst Kummer e o jovem Evariste Galois, que morreu num duelo, em 1832, segundo se diz após passar a noite tentando encontrar a demonstração do teorema. O alemão Carl Friedrich Gauss, considerado por muitos o maior de todos os matemáticos, dizia não ter interesse no Último Teorema de Fermat, embora alguns historiadores suspeitem de que, secretamente, ele tentou obter a sua demonstração.
(continua)

A IMAGEM DO UNIVERSO (6/n)

PITÁGORAS

Pitágoras (cerca de 570 - 500 a.C) cresceu na ilha de Samos, próxima de Mileto, o que lhe permitiu ter acesso aos ensinamentos de Anaximandro. Transferiu-se depois para junto dos sacerdotes egípcios e babilônios, onde viveu muitos anos, estabelecendo-se depois em Crotona, no Sul da Itália, que na ocasião fazia parte da Magna Grécia.
Fundou em Crotona uma escola científica, de forte conotação mística, que logo se estendeu até as regiões vizinhas. Nela se desenvolveu a idéia de que o esforço de purificação e libertação da alma deveria concentrar-se na busca da estrutura numérica das coisas. Enquanto os milésios postulavam que o elemento primordial tinha base individual (água, ar, ápeiron) e Heráclito situava-o no "fogo", Pitágoras admitia que o mesmo devia ser buscado nas relações matemáticas.

Para entrar na escola de Pitágoras, era exigida uma iniciação, e os segredos da contemplação divina na perfeição dos números deviam permanecer restritos ao círculo pitagórico, pois eram proibidos para o restante da humanidade. Pitágoras não permitia que se divulgassem as idéias debatidas na organização, e suas sentenças (em grego, mathémata) eram formuladas de modo peremptório e aceitas sem discussão.

Crotona

Uma sociedade assim esotérica gerava todo tipo de desinformação e fazia recair sobre Pitágoras atributos e lendas que não se coadunam com a imagem normal de um filósofo grego: semideus, encantador de serpentes, milagreiro, desceu aos infernos, podia ouvir a música que vinha do céu... Tudo isso acabou gerando uma grande rebelião popular que terminou com a destruição da escola; consta que Pitágoras conseguiu fugir para Metaponto, onde veio a falecer.

Uma das lendas

Hipassus, um pitagórico do qual pouco se sabe, cometeu o crime de divulgar a existência dos números irracionais (como o número π = 3,1415.... , a raiz quadrada de dois = 1,4142... e o número e = 2,7182...), um segredo pitagórico, e foi atirado ao mar pelos seus colegas da Escola de Pitágoras.

Numa outra versão, mais amena, Hipassus foi apenas expulso da comunidade, mas Pitágoras fez erigir um sepulcro com o seu nome.

Matemática

Pitágoras era na verdade uma conseqüência do seu tempo. Seus contemporâneos, de Samos, Mileto e outras cidades do mar Egeu, já sabiam navegar a distâncias relativamente longas e tinham grande capacidade nas artes práticas, tendo inventado a roda do oleiro, o nível, o torno, o esquadro e o gnomon, um estilete utilizado no relógio de Sol para marcar o tempo e determinar a hora do meio-dia. Um túnel chegou a ser construído em Samos.
Vários historiadores indicam ter sido aquele um período de grande efervescência e curiosidade, exacerbadas pela adoção do regime monetário, pois o advento da moeda estimulava o comércio, a navegação, o artesanato, as trocas de informações e as grandes construções, o que propiciava o desenvolvimento dos cálculos numéricos e da geometria.

Pitágoras foi, de fato, um dos mais importantes matemáticos de todos os tempos, estando entre suas proezas a demonstração do Teorema de Pitágoras (num triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos), a prova de que a soma dos ângulos de qualquer triângulo é igual a 180 graus e a descoberta da incomensurabilidade da razão entre o comprimento e o diâmetro de uma circunferência (ou seja, o número π = 3,1415...).
Os Pitagóricos também descobriram a conexão que existe entre o comprimento de uma corda sonora e o som que ela emite. Cordas curtas, som agudo, uma oitava acima sempre que o comprimento da corda for reduzido à metade. Foi por isso que a melodia e a harmonia foram arroladas como disciplinas aritméticas e, até a Idade Média, a música era ensinada nas escolas como parte da matemática.

Tudo é número

Pitágoras caracterizou-se por ter entronizado a matemática como elemento fundamental de religiosidade. Pois as descobertas matemáticas levaram os Pitagóricos a concluir que tudo pode ser reduzido a números, cabendo aos sábios a tarefa de descobrir as relações numéricas envolvidas em cada fenômeno e nas manifestações da Natureza. Tudo estava nos números, sendo estes a raiz e explicação de todas coisas.

Ele e seus adeptos encontraram nos números o próprio nutrimento e afirmavam que uma determinada propriedade dos números se identifica com a justiça, uma outra com a alma e com o intelecto e assim por diante. Tudo é número. Exagero que seja, os pitagóricos nunca deixaram de ter seus seguidores entre os físicos, guardadas as diferenças de abordagem e de circunstâncias. Wilhelm Röntgen, que em 1895 descobriu os raios X, costumava dizer para os físicos:

- Vocês precisam de três coisas: matemática, matemática e matemática.

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O mundo de Anaximandro


Anaximandro (cerca de 610 - 547 a. C.), discípulo e sucessor de Tales de Mileto, político, matemático, geógrafo e astrônomo, foi o introdutor do relógio do sol na Grécia e descobridor do ângulo formado pelo plano da eclíptica e o plano do equador celeste. Anaximandro chegou a calcular a magnitude das estrelas e a distância entre elas. Fundador da cartografia, foi dele o primeiro mapa do mundo habitado, desenhado numa tábua. No seu entendimento, os animais, gerados a partir da água evaporada do Sol, perderam sua umidade ao se afastarem para as partes secas. Achava ainda que, na sua origem, os seres humanos se confundiam com os peixes.

Superfície habitada

Sua contribuição mais importante foi, porém, um modelo de Universo de características mecânicas, a primeira formulação desse tipo na Astronomia. Segundo Anaximandro, a Terra teria a forma de um cilindro cuja parte superior seria a região habitada, sendo de um terço a razão entre a altura do cilindro e o diâmetro da base. A Terra estaria no centro do cosmo, sendo envolvida pelo ar e pelas nuvens, não repousando em cima de nada, pois está onde está por seu próprio equilibrio, "dada a equivalência de suas distâncias em relação a tudo".

Muito além dessa região, o que havia era fogo, dela separado por uma roda que circundava a Terra e girava a seu redor, com furos que permitiam que a luz do fogo a iluminasse. Um destes furos seria o Sol, outro, a Lua, e cada estrela, um furo menor. Eclipses eram devidos ao bloqueio parcial ou total do furo.
Já no modelo de Anaximandro, pode-se reconhecer a utilização da geometria - círculo, cilindro, diâmetro, base, altura. Como também uma explicação racional para os fenômenos: o fogo externo, que explica a iluminação terrestre; a roda que se movimenta, levando e trazendo o Sol, para justificar o dia e a noite; a vedação dos furos, para explicar os eclipses.

Xenófanes de Colofon

Xenófanes

Xenófanes (cerca de 570 a.C.- 460 a.C.), filósofo que viveu ao tempo de Pitágoras, era contestador e de vida errante, ele que sempre se expressou por meio de versos.
Nascido em Colofon, na Jônia, passou parte da sua vida na Sicília. O historiador e biógrafo Diógenes Laércio afirmava que Xenófanes tinha grande admiração por Tales, por sua capacidade de prever eclipses solares. Seus versos falavam de religião, amor, vinho, flores, esportes, mas também faziam críticas à mentalidade vulgar e aos deuses do Olimpo.
De Xenófanes restaram apenas fragmentos, uma centena de versos. Alguns deles enfatizam a conduta:

“Não é excesso beber se consegues voltar a casa sem guia
e se não fores idoso. É de louvar-se o homem que,
bebendo, revela atos nobres, como a memória que tem
e o desejo de virtude, sem falar nada de titãs, nem de gigantes,
nem de centauros, ficções criadas pelos antigos,
ou de lutas civis violentas, nas quais nada há de útil.”

Outros versos são verdadeiras teorias físicas:

"O mar é a fonte da água, a fonte do vento;
pois, sem o grande mar, nas nuvens não
haveria a força do vento que sopra para
fora, nem as correntes dos rios, nem
a água chuvosa do éter. É o grande mar
que engendra as nuvens, ventos e rios."

Alguns versos se caracterizam pela oposição ao antropomorfismo:

“ Se os bois, os cavalos e os leões tivessem mãos e pudessem com elas desenhar e criar obras como fazem os homens, desenhariam bois semelhantes a bois, cavalos semelhantes a cavalos, leões semelhantes a leões, e deuses semelhantes a bois, cavalos e leões.”

“- Os egípcios dizem que os deuses têm nariz chato e são negros;
os trácios, que têm olhos verdes e cabelos louros.”

Xenófanes também se opõe aos deuses concebidos por Homero e Hesíodo:

“ - Homero e Hesíodo tudo aos deuses atribuíram,
até mesmo o que entre os homens merece repulsa
e censura, como roubo, adultério e fraude recíproca.”

E o mundo de Xenófanes?

Para ele, tudo vem da terra e na terra tudo termina; terra e água constituem tudo quanto é e pode crescer; todos nascemos da terra e da água.
É natural que, com essas idéias, Xenófanes tenha do mundo uma idéia que não recorre a deuses nem a mecanismos e processos sobrenaturais.
De fato, seu modelo de mundo comporta apenas processos físicos.
A Terra libera gases que se acumulam durante toda a noite, a qual termina quando, atingida uma massa crítica, os gases se incendeiam fazendo surgir o Sol. A noite se inicia novamente quando o gás se queima quase completamente, o que faz extinguir o Sol, restando as centelhas que chamamos de estrelas.


A Lua é explicada de maneira semelhante, num processo em que o ciclo de 24 horas é substituído pelo de 28 dias.

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O elemento primordial

- Água, ar ou ápeiron?

Anaximandro, discípulo de Tales, concordou com a idéia do elemento primordial e indicou-o como sendo o ápeiron (= "sem limite"): uma substância indefinida, distinta e caótica, susceptível a infinitas divisões provocadas pelas alternâncias entre quente e frio. Tudo, enfim, seria ápeiron.
Anaxímedes, outro discípulo de Tales, descartou a água e o ápeiron e para elemento primordial escolheu o ar, que tudo podia gerar mediante processos de rarefação e condensação.
Ou seja, nem mesmo os discípulos milésios aceitaram a idéia do mestre de que tudo era água: estabelecido o contraditório, inaugurava-se desse modo o processo científico, que se caracteriza pelas hipóteses sucessivamente formuladas e... substituídas.

Heráclito de Éfeso

Heráclito

A discussão não ficou restrita a Mileto, pois logo se alastrou para as outras ilhas do mar Egeu e para o restante do mundo grego.
Heráclito (cerca de 540-480 a. C.), natural de Éfeso, era um brilhante e mau-humorado filósofo, que vivia em completo isolamento. Em permanente oposição à sociedade, muitas vezes a provocava, como num de seus famosos aforismos:

"Um só homem vale por dez mil, se for o melhor."

Tendo contraído hidropisia, uma acumulação de líquido aquoso nas cavidades do corpo, aos médicos perguntou se seriam capazes de "produzir uma seca depois de uma tempestade". Como ninguém entendeu a metáfora, Heráclito escolheu a curiosa terapia de enterrar-se no esterco até o pescoço, deixando-se permanecer, assim, até a morte.
Outros aforismos de Heráclito:

"Tudo flui e nada permanece."

"Não nos banhamos duas vezes no mesmo rio."

"A Natureza ama esconder-se."

Templo de Artemis, em Éfeso

Os gregos, sem dúvida, são chegados à discussão. Heráclito aceitou a idéia de Tales sobre a existência de um elemento primordial. Para ele, entretanto, o princípio gerador da realidade é o fogo. Todas as coisas são permutas de fogo, dizia. Na sua argumentação, o fogo, capaz de transformar uma coisa em outra, era o elemento primordial e homogeneizador, comparando-se com o dinheiro, na capacidade deste de trocar-se por qualquer mercadoria.

Empédocles de Agrigento

Empédocles de Agrigento (cerca de 490-435 a. C.) foi autor de uma alentada obra de cinco mil versos, poetando sobre idéias abundantes, entre as quais uma bizarra teoria da evolução. Animais experimentais, a assumirem todas as configurações, testando-se com rabo, chifres, asas e escamas, como quem experimenta camisas ou sapatos, até adquirir seu estágio atual.
Empédocles defendia a transmigração das almas e dizia-se capaz de ressuscitar os mortos, de influenciar os ventos e de provocar chuvas.
Querendo demonstrar sua divindade, Empédocles atirou-se na cratera do Etna e foi tragado por suas lavas.
Sua maior contribuição na discussão sobre o arché foi a concepção de que o mundo seria composto, não de um único elemento primordial, mas de quatro, terra, água, fogo e ar, conforme se resume nos seus versos:

“Tudo retornará aos seus elementos de origem:
Nossos corpos, à terra,
Nosso sangue, à água,
O calor, ao fogo,
E nossa respiração, ao ar.”

Empédocles

O que une e desune os quatro elementos, afirma Empédocles, são dois princípios: atração e repulsão ( o “amor” e o “ódio”).
O predomínio de uma ou outra força explica o estágio de desenvolvimento do Universo.
Os quatro elementos e os dois princípios são eternos e imutáveis, mas as substâncias formadas por eles são cambiáveis e pouco duradouras. Disse ele em versos:

“...algumas vezes, do múltiplo configura-se um único ser;
em outras, ao contrário, divide-se o uno na multiplicidade...”

Demócrito de Abdera

Demócrito

Demócrito de Abdera (cerca de 460 - 360 a.C.), que, além de filósofo, conhecia matemática, astronomia, geometria, geografia, meteorologia, história, linguística e música, adotou como elemento primordial uma partícula invisível e indivisível, que propôs fosse chamada de átomo, que para ele existe em grande quantidade no espaço vazio infinito.

- Tudo que existe são átomos e vazio.

Muitos atribuem essa concepção do átomo a Leucipo, seu mestre, mas é certo que Demócrito foi responsável pelo detalhamento da teoria e por sua divulgação.
Para Demócrito, os átomos são infinitos, indivisíveis, eternos e, sendo embora todos iguais em qualidade, diferentes quanto à forma, ordem e posição. Toda e qualquer substância é feita de uma combinação de átomos.
A teoria de Leucipo e Demócrito, exceto pela palavra "átomo", tem pouco a ver com a moderna concepção atômica desenvolvida a partir de Dalton (1803), Thompson (1898), Rutherford (1911), Bohr (1913), Chedwick (1932) e Gell-Mann (1961), segundo a qual o átomo não é indivisível, mas formado por prótons, nêutrons e elétrons, que são partículas subatômicas.
Por sua vez, os prótons e os nêutrons também não são indivisíveis, mas formados por quarks, que se distribuem segundo seis "sabores": up, down, charm, strange, top e bottom.

Próton: dois quarks "up" e um quark "down"

Existem 92 átomos diferentes, correspondendo aos 92 elementos encontrados na natureza.

Walt Whitman

Os temas de Walt Whitman, um dos grandes da poesia americana, são a natureza, a democracia, a sensualidade e um "eu profundo", capaz de se identificar com todas as coisas. Sua obra mais importante é uma coleção de poemas a que deu o título de "Leaves of Grass" ("Folhas de Relva"), da qual faz parte a poesia "Poet of the Body and Poet of the Soul".

Poet of the Body and Poet of the Soul

Poeta do Corpo e Poeta da Alma

Whitman

I am the poet of the Body and I am the poet of the Soul,
The pleasures of heaven are with me and the pains of hell are with me,
The first I graft and increase upon myself, the latter I translate into new tongue.

Sou o poeta do Corpo e sou o poeta da Alma.
Comigo estão os prazeres do céu e as penas do inferno estão comigo,
Aqueles incorporo e aumento dentro de mim, e estas traduzo em nova linguagem.

I am the poet of the woman the same as the man,
And I say it is as great to be a woman as to be a man,
And I say there is nothing greater than the mother of men.

Sou poeta da mulher tanto quanto do homem,
E quero dizer que é sublime ser mulher quanto é ser homem,
E que nada pode ser maior que a mãe dos homens.

I chant the chant of dilation or pride,
We have had ducking and deprecating about enough,
I show that size is only development.

Eu canto o canto da distensão ou orgulho,
E, porque já tivemos suficiente evasão e censura,
Defendo que grandeza é apenas evolução.

Have you outstript the rest? are you the President?
It is a trifle, they will more than arrive there every one, and still pass on.

Você se sobressaiu do resto? você é o Presidente?
Isso é bobagem, pois cada um vai chegar a você, todos eles, e até o ultrapassará.

I am he that walks with the tender and growing night,
I call to the earth and sea half-held by the night.

Eu sou o que caminha pela noite que se expande suavemente,
E invoco a terra e o mar, já meio abraçados pela noite.

Press close bare-bosom'd night--press close magnetic nourishing night!
Night of south winds--night of the large few stars!
Still nodding night--mad naked summer night.

Abraça-me apertado, amiga noite nua - abraça-me apertado, magnética noite nutridora!
Noite de ventos do sul - noite de parcas e grandes estrelas!
Noite ainda vacilante - nua e louca noite de verão.

Smile O voluptuous cool-breath'd earth!
Earth of the slumbering and liquid trees!
Earth of departed sunset--earth of the mountains misty-topt!
Earth of the vitreous pour of the full moon just tinged with blue!
Earth of shine and dark mottling the tide of the river!
Earth of the limpid gray of clouds brighter and clearer for my sake!
Far-swooping elbow'd earth--rich apple-blossom'd earth!
Smile, for your lover comes.

Sorria, ó voluptuosa terra de tão suave respirar!
Terra de árvores belas e sonolentas!
Terra do pôr-do-sol que se findou - terra das montanhas enevoadas!
Terra do fluxo vítreo da lua cheia levemente pintada de azul!
Terra que salpica de claro e de escuro a maré do rio!
Terra do cinza límpido das nuvens mais brilhantes e mais claras, para meu encantamento!
Terra de cotovelos e precipícios - rica terra íntima da maçã!
Sorria, pois seu amante está chegando.

Prodigal, you have given me love--therefore I to you give love!
O unspeakable passionate love.

Generosa, você tem me dado amor - então, a você dou amor!
Ó inexprimível amor feito de paixão.

Walt Whitman (1819-1892)