sexta-feira, 10 de janeiro de 2014

PARADOXO DE MONTE HALL

Let's make a deal 
 
 

O canadense Monty Hall estreou na televisão americana, em 1963, o quadro “Let's Make a Deal” (“Vamos fazer um negócio”), cujo produtor era o escritor Stefan Hatos. O programa, levado ao ar até agosto de 1986, tinha um quadro denominado “Problema de Monty Hall” ou “Paradoxo de Monty Hall”, uma brincadeira que se caracterizava por ter uma solução não intuitiva e curiosa.

O problema


O apresentador mostra três caixas fechadas, 1,2 e 3, com a informação de que uma delas contém um prêmio. Uma pessoa da plateia é solicitada a escolher uma das caixas; suponhamos que tenha escolhido a caixa 1. O apresentador abre uma das caixas não escolhidas, suponhamos a 3, mostrando que está vazia. Ou seja, o prêmio está necessariamente na caixa 1, a escolhida pelo candidato, ou na caixa 2.

A seguir o apresentador dirige-se assim ao candidato:

- Mostrei a você que a caixa 3 está vazia. Quer trocar a caixa 1, que você escolheu inicialmente, pela caixa 2?

O problema consiste em verificar se é indiferente para o candidato manter-se na escolha inicial (caixa 1) ou trocá-la pela caixa 2. Ver que ambas as caixas podem estar abrigando o prêmio.

Solução do problema

Não é indiferente, conforme pode parecer. Pois trocar de caixa dobra a chance de o candidato ganhar o prêmio.


 

- Quero trocar de caixa...

Explicação


Quando fez sua escolha inicial, qualquer que fosse, a chance do candidato era de 1/3. A probabilidade contrária, de o prêmio estar em 2 ou 3, era de 2/3. O fato de o apresentador ter aberto uma das outras duas caixas, mostrando-a vazia:

(a) não altera a probabilidade de o prêmio estar na caixa inicialmente escolhida, que continua a ser de 1/3.

(b) não altera a probabilidade contrária à caixa 1, que continua a ser de 2/3. A qual deve agora ser atribuída totalmente à caixa 2, uma vez que se tornou nula a chance de estar o prêmio na caixa 3.

Logo, trocar de caixa dobra a probabilidade de alcançar o prêmio, que passa de 1/3 para 2/3. Repitamos que
ambas as caixas podem estar abrigando o prêmio, mas a probabilidade de ser a caixa 2 é o dobro da probabilidade de ser a caixa 1.


Por via de consequência

Repetindo a experiência 1.000 vezes, é de se esperar que o candidato que não trocar de caixa ganhe o prêmio 333 vezes e o que trocar, 666 vezes.

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